等腰三角形ABC的顶点，求另一端点C的轨迹方程.

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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已知函数 $y = f (x)$ 的反函数.定义：若对给定的实数 $a (a \neq 0)$ ，函数 $y = f (x + a)$ 与 $y = f^{- 1} (x + a)$ 互为反函数，则称 $y = f (x)$ 满足" $a$ 和性质"；若函数 $y = f (a x)$ 与 $y = f^{- 1} (a x)$ 互为反函数，则称 $y = f (x)$ 满足" $a$ 积性质".
（1）判断函数 $g (x) = x^{2} + 1 (x > 0)$ 是否满足"1和性质"，并说明理由；
（2）求所有满足"2和性质"的一次函数；
（3）设函数 $y = f (x) (x > 0)$ 对任何 $a > 0$ ，满足" $a$ 积性质".求 $y = f (x)$ 的表达式.

题型：未知
难度：未知

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已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ,设过点 $A (- 3 \sqrt{2}, 0)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\overset{⇀}{e} = (1, k)$

（1）当直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线 $m$ 平行时，求直线 $l$ 的方程及 $l$ 与 $m$ 的距离；
（2）证明：当 $k > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，在双曲线 $C$ 的右支上不存在点 $Q$ ，使之到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$ .

题型：未知
难度：未知

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有时可用函数 $f (x) = {\begin{matrix} 0.1 + 15 \ln \frac{a}{a - x}, (x \leq 6) \\ \frac{x - 4.4}{x - 4}, (x > 6) \end{matrix}$ 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 $x$ 表示某学科知识的学习次数（ $x \in N^{+}$ ）， $f (x)$ 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 $a$ 与学科知识有关.
（1）证明：当 $x \geq 7$ 时，掌握程度的增加量 $f (x + 1) - f (x)$ 总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 $(115, 121]$ , $(121, 127]$ , $(121, 133]$ .当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.