（本小题13分）测量地震级别的里氏是地震强度（即地震释放的能

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本小题13分）
测量地震级别的里氏是地震强度（即地震释放的能量）的常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高。如日本1923年地震为8.9级，旧金山1906年地震是8.3级，1989年地震为7.1级。试计算一下日本1923年地震强度是8.3级的几倍？是7.1级的几倍？（取lg2=0.3）

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已知 $a > 0, 且 a \neq 1$ 函数 $f (x) = \log_{a} (1 - a^{x})$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的定义域，并判断 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $n \in N^{*}$ ,求 $\underset{n \to + Z}{l i m} \frac{a^{f (x)}}{a^{x} + a}$ ；
（Ⅲ）当 $a = e$ （ $e$ 为自然对数的底数）时，设 $h (x) = (1 - e^{f (x)}) (x^{2} - m + 1)$ ，若函数 $h (x)$ 的极值存在，求实数 $m$ 的取值范围以及函数 $h (x)$ 的极值.

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如图，正方形 $A B C D$ 所在平面与平面四边形 $A B E F$ 所在平面互相垂直， $△ A B E$ 是等腰直角三角形， $A B = A E, F A = F E, ∠ A E F = 45^{°}$ 。

（Ⅰ）求证： $E F ⊥ 平面 B C E$ ；
（Ⅱ）设线段 $C D$ 的中点为 $P$ ，在直线 $A E$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $P M ∥ 平面 B C E$ ？若存在，请指出点 $M$ 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角 $F - B D - A$ 的大小。

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为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 $\frac{3}{4}$ 是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有 $\frac{1}{3}$ 持金卡，在省内游客中有 $\frac{2}{3}$ 持银卡。
（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望 $E ξ$ 。

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在 $∆ A B C$ 中， $A, B$ 为锐角，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\cos 2 A = \frac{3}{5}, \sin B = \frac{\sqrt{10}}{10}$ 。
（Ⅰ）求 $A + B$ 的值；
（Ⅱ）若 $a + b = \sqrt{2} - 1$ ，求 $a, b, c$ 的值。