2010年全国统一高考理科数学试卷（广东卷）

若集合 $A=\left\{x|-2<x<1\right\}$ ， $B=\left\{x|0<x<2\right\}$ 则集合 $A\cap B=$ （  ）

若复数 $z_1=1+i,z_2=3-i$，则 $z_1·z_2=$（  ）

若函数 $f\left(x\right)=3^x+3^{-x}$与 $g\left(x\right)=3^x-3^{-x}$的定义域均为 $R$，则(   )

已知 $\left\{a_n\right\}$为等比数列， $S_n$是它的前 $n$项和。若 $a_2·a_3=2a_1$， 且 $a_4$与 $2a_7$的等差中项为 $\frac{5}{4}$，则 $S_5$ $=$（）

" $m<\frac{1}{4}$"是"一元二次方程 $x^2+x+m=0$"有实数解的（）

如图， $△ABC$ 为三角形， $AA`//BB`//CC`,$   $CC`$ ⊥平面 $ABC$ 且 $3AA`=\frac{3}{2}BB`=CC`=AB$ ,则多面体 $ABC-A`B`C`$ 的正视图（也称主视图）是（  ）

已知随机变量 $X$服从正态分布 $N$(3.1)，且 $P(2\le X\le 4)=0.6826$，则 $P(X>4)=$（   ）

为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（   ）

函数 $f\left(x\right)=lg(x-1)$的定义域是.

若向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(1,1,x)$, $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(1,2,1)$, $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(1,1,1)$,满足条件 $(\stackrel{\rightharpoonup }{c}-\stackrel{\rightharpoonup }{a})·\left(2\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right)=-2$,则 $x$=.

已知 $a,b,c$分别是 $∆ABC$的三个内角 $A,B,C$所对的边,若 $a=1,b=\sqrt{3},A+C=2B$,则 $\sin C=$.

已知圆心在 $x$轴上，半径为 $\sqrt{2}$的圆 $O$位于 $y$轴左侧，且与直线 $x+y=0$相切，则圆 $O$的方程是

某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 $n$ 位居民的月均用水量分别为 $x_1,\dots x_n$ (单位：吨)，根据如图所示的程序框图，若 $n=2$ ,且 $x_1,x_2$ 分别为1,2，则输出地结果 $s$ 为   .

如图， $AB,CD$ 是半径为 $a$ 的圆 $O$ 的两条弦，它们相交于 $AB$ 的中点 $P$ ， $PD=\frac{2a}{3}$ ， $\angle OAP={30}^{°}$ ，则 $CP=$    .

在极坐标系 $(\rho ,\theta )(0\le \theta <2\pi )$中，曲线 $\rho =2\sin \theta$与 $\rho \cos \theta =-1$的交点的极坐标为．

已知函数 $f\left(x\right)=A\sin (3x+\phi )(A>0,x\in (-\infty ,+\infty \left)\right),0<\phi <\pi$在 $x=\frac{\pi }{12}$时取得最大值4．　
(1)求 $f\left(x\right)$的最小正周期；
(2)求 $f\left(x\right)$的解析式；
(3)若 $f(\frac{2}{3}\alpha +\frac{\pi }{12})=\frac{12}{5}$,求 $\sin \alpha$．

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为 $(490,495]$ ， $（495,500]$ ，…… $（510,515]$ ，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

如图， $\stackrel{⏜}{ABC}$ 是半径为 $a$ 的半圆， $AC$ 为直径，点 $E$ 为 $\stackrel{⏜}{AC}$ 的中点，点 $B$ 和点 $C$ 为线段 $AD$ 的三等分点．平面 $AEC$ 外一点 $F$ 满足 $FB=DF=\sqrt{5}a$ ， $FE=\sqrt{6}a$ ．

（1）证明： $EB\perp FD$ ；
（2）已知点 $Q,R$ 分别为线段 $FE,FB$ 上的点，使得 $BQ=\frac{2}{3}FE$ , $FR=\frac{2}{3}FB$ ,求平面 $BED$ 与平面 $RQD$ 所成二面角的正弦值.

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素 $C$；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素 $C$.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素 $C$.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

一条双曲线 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$，点 $P(x_1,y_1),Q(x_1,-y_1)$是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线 $A_{1}P$与 $A_{2}Q$交点的轨迹 $E$的方程式；
（2）若过点 $H(0,h)(h>1)$的两条直线 $l_1$和 $l_2$与轨迹 $E$都只有一个交点，且 $l_1\perp l_2$_,求 $h$的值.

设 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离 $p(A,B)$为 $P(A,B)=\left|x_2-x_1\right|+\left|y_2-y_1\right|$

对于平面 $xOy$上给定的不同的两点 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$，

(Ⅰ)若点 $C(x,y)$是平面 $xOy$上的点，试证明 $P(A,C)+P(C,B)\ge P(A,B)$；

(Ⅱ)在平面 $xOy$上是否存在点 $C(x,y)$，同时满足① $P(A,C)+P(C,B)=P(A,B)$；② $P(A,C)=P(C,B)$.若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.