2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅱ）

若将函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)\left(\mathrm{\omega }>0\right)$ 的图像向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度后，与函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图像重合，则 $\omega$ 的最小值为(   )

已知直线 $y=k\left(x+2\right)\left(k>0\right)$ 与抛物线 $C:y^2=8x$ 相交于 $A,B$ 两点， $F$ 为 $C$ 的焦点，若 $\left|FA\right|=2\left|FB\right|$ ，则 $k=$ ()

已知正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $A{A}_1=2AB$ ， $E$ 为 $A{A}_1$ 中点，则异面直线 $BE$ 与 $C{D}_1$ 所成角的余弦值为(     )

$(\sqrt[x]{y}-\sqrt[y]{x}{)}^4$的展开式中 $x^3{y}^3$的系数为     .

设 $OA$是球 $O$的半径, $M$是 $OA$的中点,过 $M$且与 $OA$成 ${45}^{°}$角的平面截球 $O$的表面得到圆 $C$.若圆 $C$的面积等于 $\frac{7\pi }{4}$,则球 $O$的表面积等于     .

已知全集 $U=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$ ， $M=\left\{1,3,5,7\right\}$ ， $N=\left\{5,6,7\right\}$ ，则 $C_U(M\cup N)$ =

函数 $y=\sqrt{-x}(x\le 0)$ 的反函数是（ ）

函数 $y={\log }_2\left(\frac{2-x}{2+x}\right)$ 的图像（ ）

已知 $△ABC$ 中， $cotA=-\frac{12}{5}$ ，则 $\cos A$ =（ ）

已知向量 $a=(2,1)$ ， $\stackrel{\rightharpoonup }{a}·\stackrel{\rightharpoonup }{b}=10$ ， $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=5\sqrt{2}$ ，则 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|=$ （ ）

设 $a=lge,b={\left(lge\right)}^2,c=lg\sqrt{e}$则（）

双曲线 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$的渐近线与圆 ${\left(x-3\right)}^2+y^2=r^2\left(r>0\right)$相切,则 $r=$（）

甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）

纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上 $、$下 $、$东 $、$南 $、$西 $、$北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开 $、$外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标" $∆$"的面的方位是（）

设等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ .若 $a_1=1$ , $s_6=4s_3$ ,则 $a_4=$ .

已知圆 $O:x^2+y^2=5$ 和点 $A(1,2)$ ,则过 $A$ 且与圆 $O$ 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 .

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_3{a}_7=-16,a_4+a_5=0$求 $\left\{a_n\right\}$前 $n$项和 $S_n$.

设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边长分别为 $a,b,c$ ， $\cos (A-C)+\cos B=\frac{3}{2}$ , $b^2=ac$ ，求 $B$ .

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人.现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核.
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.

设函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\left(1+a\right)x^2+4ax+24a$ ,其中常数 $a>1$ .

(Ⅰ)讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性;
(Ⅱ)若当 $x⩾0$ 时, $f\left(x>0\right)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

已知椭圆C $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，过右焦点 $F$的直线 $l$与 $C$相交于 $A,B$两点，当 $l$的斜率为1是，坐标原点 $O$到直线 $l$的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
（Ⅰ）求 $a,b$的值；
（Ⅱ） $C$上是否存在点 $P$，使得当 $l$绕 $F$转到某一位置时，有 $\stackrel{\to }{OP}=\stackrel{\to }{OA}+\stackrel{\to }{OB}$成立？
若存在，求出所有的P的坐标与 $l$的方程；若不存在，说明理由.

如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $AB\perp AC$， $D$、 $E$分别为 $A{A}_1$、 $B_{1}C$的中点， $DE\perp \mathrm{平面}BC{C}_1$.
（Ⅰ）证明： $AB=AC$；
（Ⅱ）设二面角 $A-BD-C$为60°，求 $B_{1}C$与平面 $BCD$所成的角的大小.