【八年级下册】全国重点高中提前招生单元过关（八）

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线交于 $O$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAD}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，若 $\angle \mathit{CAE}={15}^{\circ }$，则 $\angle \mathit{BOE}=$（ ）

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{CE}\mathrm{，}\mathit{CF}$分别平分 $\angle \mathit{ACB}$和 $\angle \mathit{ACD}\mathrm{，}\mathit{AE}//\mathit{CF}\mathrm{，}\mathit{AF}//\mathit{CE}$，直线 $\mathit{EF}$分别交 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{AC}$于点 $M\mathrm{，}N$.若 $\mathit{BC}=a\mathrm{，}\mathit{AC}=b\mathrm{，}\mathit{AB}=c$，且 $c>a>b$，则 $\mathit{ME}$的长为（ ）

有 $4$个命题：①一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③ $O$是四边形 $\mathit{ABCD}$内一点，若 $\mathit{AO}=\mathit{BO}=\mathit{CO}=\mathit{DO}$，则四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形；④若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形.其中正确的命题个数是（ ）

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2\mathrm{，}\angle A={120}^{\circ }$，点 $P\mathrm{，}Q\mathrm{，}K$分别为线段 $\mathit{BC}\mathrm{，}\mathit{CD}\mathrm{，}\mathit{BD}$上任意一点，则 $\mathit{PK}+\mathit{QK}$的最小值为（ ）

某台球桌为如图的长方形 $\mathit{ABCD}$，小球从 $A$沿 ${45}^{\circ }$角出击，恰好经过 $5$次碰撞到 $B$处，则 $\mathit{AB}:\mathit{BC}=$（ ）

如图，一个大长方形被两条线段 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{CD}$分成四个小长方形，如果其中图形I，II，III的面积分别为 $8\mathrm{，}6\mathrm{，}5$，那么阴影部分的面积为（ ）

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $△\mathit{AEF}$是正三角形，点 $E\mathrm{，}F$分别在边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{AB}=\mathit{AE}$，则 $\angle B$的值等于＿＿＿＿＿.

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，边长为 $10\mathrm{，}\angle A={60}^{\circ }$，顺次连接菱形 $\mathit{ABCD}$各边中点，可得四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$；顺次连接四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$各边中点，可得四边形 $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$；顺次连接四边形 $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$各边中点，可得四边形 $A_3{B}_3{C}_3{D}_3\mathrm{，}\cdots$，按此规律下去，则四边形 $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$的周长是＿＿＿＿＿，四边形 $A_{2013}{B}_{2013}{C}_{2013}{D}_{2013}$的周长是＿＿＿＿＿.

将宽为 $\sqrt{3}\text{cm}$的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕 $\mathit{PQ}$的长是＿＿＿＿＿.

如图，长方形 $\mathit{ABCD}$被分成 $8$块，图中的数字是其中 $5$块的面积数，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿.

如图，自矩形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $C$作 $\mathit{CE}\perp \mathit{BD}\mathrm{，}E$为垂足，延长 $\mathit{EC}$到 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{AF}$，则 $\angle \mathit{BAF}$的大小是＿＿＿＿＿.

如图，矩形 $\mathit{OABC}$在平面直角坐标系中， $\mathit{OA}=\sqrt{3}\mathrm{，}\mathit{AB}=1$，将它沿 $\mathit{OB}$对折，点 $A$落在 $A^{\text{'}}$处，则 $A^{\text{'}}$的坐标为＿＿＿＿＿.

已知 $a^4+b^4+c^4+d^4=4\mathit{abcd}$，判定以 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c\mathrm{，}d$为边的四边形的形状.

现有一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$（如图）。其中 $\mathit{AB}=4\mathrm{cm}\mathrm{，}\mathit{BC}=6\mathrm{cm}$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，将纸片沿直线 $\mathit{AE}$折叠，点 $B$落在四边形 $\mathit{AECD}$内，记为点 $B^{\text{'}}$，求线段 $B^{\text{'}}C$的长.

已知，如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $F$为边 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{DF}$与对角线 $\mathit{AC}$交于点 $M$，过 $M$作 $\mathit{ME}\perp \mathit{CD}$于点 $E\mathrm{，}\angle 1=\angle 2$.

（1）若 $\mathit{CE}=1$，求 $\mathit{BC}$的长；

（2）求证： $\mathit{AM}=\mathit{DF}+\mathit{MF}$.

在 $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}={90}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AC}=2\mathit{AB}$，点 $D\mathrm{，}P$分别是 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$的中点， $△\mathit{ADE}$是等腰三角形， $\angle \mathit{AED}={90}^{\circ }$，连接 $\mathit{BE}\mathrm{，}\mathit{EC}$.

（1）判断线段 $\mathit{BE}$和 $\mathit{EC}$的关系，并证明你的结论；

（2）连接 $\mathit{PA}\mathrm{，}\mathit{PE}$，过点 $A$作 $\mathit{AM}//\mathit{PE}$，过点 $E$作 $\mathit{EM}//\mathit{PA}\mathrm{，}\mathit{AM}$和 $\mathit{EM}$相交于点 $M$，在图中先补充图形，再判断四边形 $\mathit{PAME}$的形状，并证明你的结论.

如图，设 $P$为等腰直角三角形 $\mathit{ACB}$斜边 $\mathit{AB}$上任意一点， $\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$于点 $E\mathrm{，}\mathit{PF}\perp \mathit{BC}$于点 $F\mathrm{，}\mathit{PG}\perp \mathit{EF}$于 $G$点， $\mathit{EF}$交 $\mathit{CP}$于点 $H$，延长 $\mathit{GP}$并在其延长线上取一点 $D$，使得 $\mathit{PD}=\mathit{PC}$.求证： $\mathit{BC}\perp \mathit{BD}$，且 $\mathit{BC}=\mathit{BD}$.