【八年级下册】全国重点高中提前招生单元过关（四）

设 $a,b$是直角三角形的两直角边，若该三角形周长为 $6$，斜边为 $2.5$，则 $\mathit{ab}$的值（ ）

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=135°\angle C=120°$， $\mathit{AB}=\sqrt{6},\mathit{BC}=3-\sqrt{3},\mathit{CD}=6$，则 $\mathit{AD}$边的长为（ ）

如图，在直线 $l$上依次摆放七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为 $1,2,3$，正放置的四个正方形的面积依次是 $S_1,S_2,S_3,S_4$，则 $S_1+2S_2+2S_3+S_4=$（ ）

如图，在等腰 $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$.以斜边 $\mathit{AB}$为一边作等边 $△\mathit{ABD}$，使点 $C$， $D$在 $\mathit{AB}$的同侧；再以 $\mathit{CD}$为一边作等边 $△\mathit{CDE}$，使点 $C,E$在 $\mathit{AD}$的异侧.若 $\mathit{AE}=1$，则 $\mathit{CD}$的长为 （ ）

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=4,P$是 $\mathit{BC}$上异于 $B,C$的一点，则 $A{P}^2+\mathit{BP}\cdot \mathit{PC}$的值是（ ）

如图所示，长方体的长为 $15$，宽为 $10$，高为 $20$，点 $B$离点 $C$的距离为 $5$，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 $B$爬到点 $A$，需要爬行的最短的距离是（ ）

如图，将长方形纸片 $\mathit{ABCD}$折叠，使边 $\mathit{DC}$落在对角线 $\mathit{AC}$上，折痕为 $\mathit{CE}$，且 $D$点落在对角线 $D^{\text{'}}$处.若 $\mathit{AB}=3,\mathit{AD}=4$，则 $\mathit{ED}$的长为＿＿＿＿＿.

如图是一种“羊头”形图案。其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，…，依此类推，若正方形①的边长为 $64\text{cm}$，则正方形⑦的边长为＿＿＿＿＿ $\text{cm}$.

如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角 $0.7m$，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了 $1.3m$，木板顶端向下滑了 $0.9m$，则小猫在木板上爬动了＿＿＿＿＿ $m$.

已知三角形相邻两边长分别为 $20\text{c}m$和 $30\text{c}m$，第三边上的高为 $10\text{c}m$，则此三角形的面积为＿＿＿＿＿ $\text{c}{m}^2$.

勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票（如图①.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成的图形。它可以验证勾股定理.在图②的勾股图中，已知 $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\angle \mathit{BAC}={30}^{\circ },\mathit{AB}=4$.作 $△\mathit{PQR}$使得 $\angle R={90}^{\circ }$，点 $H$在边 $\mathit{QR}$上，点 $D,E$在边 $\mathit{PR}$上，点 $G,F$在边 $\mathit{PQ}$上，那么 $△\mathit{PQR}$的周长等于＿＿＿＿＿.

如图， $\mathit{OP}=1$，过点 $P$作 $P{P}_1\perp \mathit{OP}$且 $P{P}_1=1$，得 $O{P}_1=\sqrt{2}$；再过点 $P_1$作 $P_1{P}_2\perp O{P}_1$且 $P_1{P}_2=1$，得 $O{P}_2=\sqrt{3}$；又过 $P_2$作 $P_2{P}_3\perp O{P}_2$且 $P_2{P}_3=1$，得 $O{P}_3=2;\cdots$，依此法继续下去，得 $O{P}_{2021}=$＿＿＿＿＿.

如图， $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°,\angle B=2\angle C$，点 $D$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$，若 $\mathit{AB}=1$，求 $\mathit{BD}$的长.

如图， $A,B,C$三个村庄在同一条东西方向的公路沿线上， $\mathit{AB}=2\text{km}$， $\mathit{BC}=3\text{km}$，在 $B$村的正北方有一个 $D$村，测得 $\angle \mathit{ADC}=45°$，今将 $\mathit{ADC}$区域规划为开发区，除其中 $4k{m}^2$的水塘外，均作为建筑及绿化用地，试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少?

如图。（1）如图①以 $△\mathit{ABC}$的边 $\mathit{AB},\mathit{AC}$为边分别向外作正方形 $\mathit{ABDE}$和正方形 $\mathit{ACFG}$，连接 $\mathit{EG}$，试判断 $△\mathit{ABC}$与 $△\mathit{AEG}$面积之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图②所示。小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是 $a{\text{m}}^2$，内圈的所有三角形的面积之和是 $b{\text{m}}^2$，这条小路一共占地多少 $m^2$?

如图， $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=2,\mathit{BC}$边上有 $100$个不同点， $P_1,P_2,P_3\cdots ,P_{100}$，记 $m_i=A{P}_i^2+P_{i}B\cdot P_{i}C\left(i=1,2,\cdots ,100\right)$，求 $m_1+m_2+\cdots +m_{100}$的值.

恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 $\left(A\right)$和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 $X$同侧， $\mathit{AB}=50\text{km},A,B$到直线 $X$的距离分别为 $10\text{km}$和 $40\text{km}$，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 $P$，向 $A,B$两景区运送游客.小民设计了两种方案.图①是方案一的示意图（ $\mathit{AP}$与直线 $X$垂直，垂足为 $P),P$到 $A,B$的距离之和 $S_1=\mathit{PA}+\mathit{PB}$；图②是方案二的示意图（点 $A$关于直线 $X$的对称点是 $A^{\text{'}}$，连接 $B{A}^{\text{'}}$交直线 $X$于点 $\left.P\right),P$到 $A,B$的距离之和 $S_2=\mathit{PA}+\mathit{PB}$.

（1）求 $S_1,S_2$，并比较它们的大小；

（2）请你说明 $S_2=\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路 $y$与沪渝高速公路垂直，建立如图③所示的直角坐标系， $B$到直线 $y$的距离为 $30\text{km}$，请你在 $x$旁和 $y$旁各修建一服务区 $P,Q$，使 $P,A,B,Q$组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值.