2021年甘肃省武威市中考数学试卷（含答案与解析）

3的倒数是 $($ 　　 $)$

2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬"为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛"精神，某社区也开展了"迎新春牛年剪纸展"，下面的剪纸作品是轴对称图形的是 $($ 　　 $)$

下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

中国疫苗撑起全球抗疫"生命线" $!$ 中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据"50亿"用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

将直线 $y=5x$ 向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为 $($ 　　 $)$

如图，直线 $\mathit{DE}//\mathit{BF}$ ， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 的顶点 $B$ 在 $\mathit{BF}$ 上，若 $\angle \mathit{CBF}=20°$ ，则 $\angle \mathit{ADE}=($ 　　 $)$

如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 在 $\odot O$ 上， $\mathit{AB}=\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AOB}=42°$ ，则 $\angle \mathit{CED}=($ 　　 $)$

我国古代数学著作《孙子算经》有"多人共车"问题："今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？"其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有 $x$ 人， $y$ 辆车，则可列方程组为 $($ 　　 $)$

对于任意的有理数 $a$ ， $b$ ，如果满足 $\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$ ，那么我们称这一对数 $a$ ， $b$ 为"相随数对"，记为 $(a,b)$ ．若 $(m,n)$ 是"相随数对"，则 $3m+2[3m+(2n-1\left)\right]=($ 　　 $)$

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ， $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$ 于点 $D(\mathit{AD}>\mathit{BD})$ ．动点 $M$ 从 $A$ 点出发，沿折线 $\mathit{AB}\to \mathit{BC}$ 方向运动，运动到点 $C$ 停止．设点 $M$ 的运动路程为 $x$ ， $\mathit{\Delta AMD}$ 的面积为 $y$ ， $y$ 与 $x$ 的函数图象如图2，则 $\mathit{AC}$ 的长为 $($ 　　 $)$

因式分解： $4m-2m^2=$　　．

关于 $x$的不等式 $\frac{1}{3}x-1>\frac{1}{2}$的解集是　　．

关于 $x$的方程 $x^2-2x+k=0$有两个相等的实数根，则 $k$的值是　　．

开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：

这14天中，小芸体温的众数是 　　 ${}^{°}\text{C}$ ．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{BC}$边上一点， $\angle \mathit{AED}=90°$， $\angle \mathit{EAD}=30°$， $F$是 $\mathit{AD}$边的中点， $\mathit{EF}=4\mathit{cm}$，则 $\mathit{BE}=$　　 $\mathit{cm}$．

若点 $A(-3,y_1)$， $B(-4,y_2)$在反比例函数 $y=\frac{a^2+1}{x}$的图象上，则 $y_1$　　 $y_2$．（填“ $>$”或“ $<$”或“ $=$” $)$

如图，从一块直径为 $4\mathit{dm}$的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 $90°$的扇形，则此扇形的面积为 　　 $d{m}^2$．

一组按规律排列的代数式： $a+2b$， $a^2-2b^3$， $a^3+2b^5$， $a^4-2b^7$， $\dots$，则第 $n$个式子是　　．

计算： ${(2021-\pi )}^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}-2\cos 45°$．

先化简，再求值： $(2-\frac{2x}{x-2})÷\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}$，其中 $x=4$．

在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$， $C$是弦 $\mathit{AB}$上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{DE}$，分别交 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$于点 $D$， $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$；

②以点 $D$为圆心， $\mathit{DA}$长为半径作弧，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$于点 $F(F$， $A$两点不重合），连接 $\mathit{DF}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{BF}$．

（2）直接写出引理的结论：线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{BF}$的数量关系．

如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年 $(1535$年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

方案设计：如图2，宝塔 $\mathit{CD}$垂直于地面，在地面上选取 $A$， $B$两处分别测得 $\angle \mathit{CAD}$和 $\angle \mathit{CBD}$的度数 $(A$， $D$， $B$在同一条直线上）．

数据收集：通过实地测量：地面上 $A$， $B$两点的距离为 $58m$， $\angle \mathit{CAD}=42°$， $\angle \mathit{CBD}=58°$．

问题解决：求宝塔 $\mathit{CD}$的高度（结果保留一位小数）．

参考数据： $\sin 42°\approx 0.67$， $\cos 42°\approx 0.74$， $\tan 42°\approx 0.90$， $\sin 58°\approx 0.85$， $\cos 58°\approx 0.53$， $\tan 58°\approx 1.60$．

根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．

（1）请你估计箱子里白色小球的个数；

（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．

为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以"学习百年党史，汇聚团结伟力"为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：

（1）本次调查一共随机抽取了 　　名学生的成绩，频数分布直方图中 $m=$ 　　；

（2）补全学生成绩频数分布直方图；

（3）所抽取学生成绩的中位数落在 　　等级；

（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？

如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离 $y\left(m\right)$与他所用的时间 $x\left(\mathit{min}\right)$的函数关系如图2所示．

（1）小刚家与学校的距离为 　　 $m$，小刚骑自行车的速度为 　　 $m/\mathit{min}$；

（2）求小刚从图书馆返回家的过程中， $y$与 $x$的函数表达式；

（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远？

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $D$ 是 $\odot O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 的延长线上一点， $\angle \mathit{DCB}=\angle \mathit{OAC}$ ．过圆心 $O$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CD}=4$ ， $\mathit{CE}=6$ ，求 $\odot O$ 的半径及 $\tan \angle \mathit{OCB}$ 的值．

问题解决：如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$ 于点 $G$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形；

（2）延长 $\mathit{CB}$ 到点 $H$ ，使得 $\mathit{BH}=\mathit{AE}$ ，判断 $\mathit{\Delta AHF}$ 的形状，并说明理由．

类比迁移：如图2，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AF}$ 相交于点 $G$ ， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\angle \mathit{AED}=60°$ ， $\mathit{AE}=6$ ， $\mathit{BF}=2$ ，求 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与坐标轴交于 $A(0,-2)$ ， $B(4,0)$ 两点，直线 $\mathit{BC}:y=-2x+8$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ．点 $D$ 为直线 $\mathit{AB}$ 下方抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $G$ ， $\mathit{DG}$ 分别交直线 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的表达式；

（2）当 $\mathit{GF}=\frac{1}{2}$ 时，连接 $\mathit{BD}$ ，求 $\mathit{\Delta BDF}$ 的面积；

（3）① $H$ 是 $y$ 轴上一点，当四边形 $\mathit{BEHF}$ 是矩形时，求点 $H$ 的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点 $P$ ，满足 $\mathit{PH}=\mathit{PC}+2$ ，求 $\mathit{\Delta PHB}$ 周长的最小值．