2020年山西省中考数学试卷

计算 $(-6)÷(-\frac{1}{3})$的结果是 $($　　 $)$

A． $-18$B．2C．18D． $-2$

自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

下列运算正确的是 $($　　 $)$

A． $3a+2a=5a^2$B． $-8a^2÷4a=2a$C． ${(-2a^2)}^3=-8a^6$D． $4a^3·3a^2=12a^6$

下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的 $($　　 $)$

A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似

不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2x-6>0,\\ 4-x<-1\end{array}\right.$的解集是 $($　　 $)$

A． $x>5$B． $3<x<5$C． $x<5$D． $x>-5$

已知点 $A(x_1$， $y_1)$， $B(x_2$， $y_2)$， $C(x_3$， $y_3)$都在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k<0)$的图象上，且 $x_1<x_2<0<x_3$，则 $y_1$， $y_2$， $y_3$的大小关系是 $($　　 $)$

A． $y_2>y_1>y_3$B． $y_3>y_2>y_1$C． $y_1>y_2>y_3$D． $y_3>y_1>y_2$

中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 $\mathit{AC}=\mathit{BD}=12\mathit{cm}$， $C$， $D$两点之间的距离为 $4\mathit{cm}$，圆心角为 $60°$，则图中摆盘的面积是 $($　　 $)$

A． $80\mathit{\pi c}{m}^2$B． $40\mathit{\pi c}{m}^2$C． $24\mathit{\pi c}{m}^2$D． $2\mathit{\pi c}{m}^2$

竖直上抛物体离地面的高度 $h\left(m\right)$与运动时间 $t\left(s\right)$之间的关系可以近似地用公式 $h=-5t^2+v_{0}t+h_0$表示，其中 $h_0\left(m\right)$是物体抛出时离地面的高度， $v_0(m/s)$是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面 $1.5m$的高处以 $20m/s$的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为 $($　　 $)$

A． $23.5m$B． $22.5m$C． $21.5m$D． $20.5m$

如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{3}$B． $\frac{1}{4}$C． $\frac{1}{6}$D． $\frac{1}{8}$

计算： ${(\sqrt{3}+\sqrt{2})}^2-\sqrt{24}=$　　．

如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形 $\dots$按此规律摆下去，第 $n$个图案有　　个三角形（用含 $n$的代数式表示）．

某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：

由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是　　．

如图是一张长 $12\mathit{cm}$，宽 $10\mathit{cm}$的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是 $24c{m}^2$的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　　 $\mathit{cm}$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$， $E$为 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AE}$与 $\mathit{CD}$交于点 $F$，则 $\mathit{DF}$的长为　　．

（1）计算： ${(-4)}^2\times {(-\frac{1}{2})}^3-(-4+1)$．

（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

$\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}-\frac{2x+1}{2x+6}$

$=\frac{(x+3)(x-3)}{{(x+3)}^2}-\frac{2x+1}{2(x+3)}\dots$第一步

$=\frac{x-3}{x+3}-\frac{2x+1}{2(x+3)}\dots$第二步

$=\frac{2(x-3)}{2(x+3)}-\frac{2x+1}{2(x+3)}\dots$第三步

$=\frac{2x-6-(2x+1)}{2(x+3)}\dots$第四步

$=\frac{2x-6-2x+1}{2(x+3)}\dots$第五步

$=-\frac{5}{2x+6}\dots$第六步

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第　　步是进行分式的通分，通分的依据是　　．或填为：　　；

②第　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．

2020年5月份，省城太原开展了“活力太原 $·$乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高 $50\%$后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

如图，四边形 $\mathit{OABC}$是平行四边形，以点 $O$为圆心， $\mathit{OC}$为半径的 $\odot O$与 $\mathit{AB}$相切于点 $B$，与 $\mathit{AO}$相交于点 $D$， $\mathit{AO}$的延长线交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{EB}$交 $\mathit{OC}$于点 $F$．求 $\angle C$和 $\angle E$的度数．

2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通， $5G$基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域 $(5G$基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是　300　亿元；

（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“ $5G$基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向．请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；

（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为 $W$， $G$， $D$， $R$， $X$的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为 $W(5G$基站建设）和 $R$（人工智能）的概率．

阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　   　；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明 $\angle \mathit{RCS}=90°$；

（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点 $C$作出 $\mathit{AB}$的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．

图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形 $\mathit{ABC}$和 $\mathit{DEF}$是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称， $\mathit{BC}$和 $\mathit{EF}$均垂直于地面，扇形的圆心角 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{DEF}=28°$，半径 $\mathit{BA}=\mathit{ED}=60\mathit{cm}$，点 $A$与点 $D$在同一水平线上，且它们之间的距离为 $10\mathit{cm}$．

（1）求闸机通道的宽度，即 $\mathit{BC}$与 $\mathit{EF}$之间的距离（参考数据： $\sin 28°\approx 0.47$， $\cos 28°\approx 0.88$， $\tan 28°\approx 0.53)$；

（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．

综合与实践

问题情境：

如图①，点 $E$为正方形 $\mathit{ABCD}$内一点， $\angle \mathit{AEB}=90°$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABE}$绕点 $B$按顺时针方向旋转 $90°$，得到 $\mathit{\Delta CBE}\text{'}$（点 $A$的对应点为点 $C)$．延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CE}\text{'}$于点 $F$，连接 $\mathit{DE}$．

猜想证明：

（1）试判断四边形 $B{E}^{\text{'}}\mathit{FE}$的形状，并说明理由；

（2）如图②，若 $\mathit{DA}=\mathit{DE}$，请猜想线段 $\mathit{CF}$与 $F{E}^{\text{'}}$的数量关系并加以证明；

解决问题：

（3）如图①，若 $\mathit{AB}=15$， $\mathit{CF}=3$，请直接写出 $\mathit{DE}$的长．

综合与探究

如图，抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2-x-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．直线 $l$与抛物线交于 $A$， $D$两点，与 $y$轴交于点 $E$，点 $D$的坐标为 $(4,-3)$．

（1）请直接写出 $A$， $B$两点的坐标及直线 $l$的函数表达式；

（2）若点 $P$是抛物线上的点，点 $P$的横坐标为 $m(m⩾0)$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，垂足为 $M$． $\mathit{PM}$与直线 $l$交于点 $N$，当点 $N$是线段 $\mathit{PM}$的三等分点时，求点 $P$的坐标；

（3）若点 $Q$是 $y$轴上的点，且 $\angle \mathit{ADQ}=45°$，求点 $Q$的坐标．