2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（a卷）

$-2019$的相反数是 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2019}$B．2019C． $-2019$D． $-\frac{1}{2019}$

如图，直线 $a$， $b$被直线 $c$所截， $a//b$， $\angle 1=80°$，则 $\angle 2=($　　 $)$

A． $130°$B． $120°$C． $110°$D． $100°$

计算： $\sqrt{12}-\sqrt{3}=($　　 $)$

A． $\sqrt{3}$B． $2\sqrt{3}$C．3D． $4\sqrt{3}$

剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

$x=1$是关于 $x$的一元二次方程 $x^2+\mathit{ax}+2b=0$的解，则 $2a+4b=($　　 $)$

A． $-2$B． $-3$C． $-1$D． $-6$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$，若 $\angle A=40°$，则 $\angle C=($　　 $)$

A． $110°$B． $120°$C． $135°$D． $140°$

化简： $\frac{a^2+1}{a+1}-\frac{2}{a+1}=($　　 $)$

A． $a-1$B． $a+1$C． $\frac{a-1}{a+1}$D． $\frac{1}{a+1}$

已知 $\mathit{\Delta ABC}\backsim$△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$， $\mathit{AB}=8$， $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=6$，则 $\frac{\mathit{BC}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=($　　 $)$

A．2B． $\frac{4}{3}$C．3D． $\frac{16}{9}$

《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为 $x$斤，一只燕的重量为 $y$斤，则可列方程组为 $($　　 $)$

A． $\left\{\begin{array}{c}5x+6y=1\\ 5x-y=6y-x\end{array}\right.$B． $\left\{\begin{array}{c}6x+5y=1\\ 5x+y=6y+x\end{array}\right.$

C． $\left\{\begin{array}{c}5x+6y=1\\ 4x+y=5y+x\end{array}\right.$D． $\left\{\begin{array}{c}6x+5y=1\\ 4x-y=5y-x\end{array}\right.$

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，将四边形 $\mathit{ABCD}$先向下平移，再向右平移得到四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，已知 $A(-3,5)$， $B(-4,3)$， $A_1(3,3)$，则 $B_1$的坐标为 $($　　 $)$

A． $(1,2)$B． $(2,1)$C． $(1,4)$D． $(4,1)$

已知点 $A(1,y_1)$， $B(2,y_2)$在抛物线 $y=-{(x+1)}^2+2$上，则下列结论正确的是 $($　　 $)$

A． $2>y_1>y_2$B． $2>y_2>y_1$C． $y_1>y_2>2$D． $y_2>y_1>2$

如图，边长为 $\sqrt{2}$的正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$，将正方形 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{DF}$折叠，点 $C$落在对角线 $\mathit{BD}$上的点 $E$处，折痕 $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $M$，则 $\mathit{OM}=($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$C． $\sqrt{3}-1$D． $\sqrt{2}-1$

因式分解： $a^3+2a^2+a=$　　．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle A=40°$，则 $\angle B=$　　 $°$．

如图，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $B$在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象上， $S_{\mathit{矩形OABC}}=6$，则 $k=$　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$， $\angle \mathit{BAC}=60°$，以点 $A$为圆心，以任意长为半径作弧分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $M$， $N$两点，再分别以点 $M$， $N$为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{MN}$的长作半径作弧交于点 $P$，作射线 $\mathit{AP}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，若 $\mathit{BE}=1$，则矩形 $\mathit{ABCD}$的面积等于　　．

计算： $|-2|-{(\sqrt{3}+1)}^0+{(-2)}^2-\tan 45°$．

化简： $a(1-2a)+2(a+1)(a-1)$．

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}2x-1<x+5①\\ \frac{x+1}{3}<x-1②\end{array}\right.$．

如图， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$， $\mathit{BF}=\mathit{EC}$， $\angle B=\angle E$，求证： $\mathit{AC}//\mathit{DF}$．

2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强 $--$国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．

第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用 $A_1$， $A_2$， $A_3$， $A_4$表示）；

第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用 $B_1$， $B_2$， $B_3$表示）．

（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；

（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．

如图， $\mathit{AC}=8$，分别以 $A$、 $C$为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点 $B$和 $D$．依次连接 $A$、 $B$、 $C$、 $D$，连接 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $O$．

（1）判断四边形 $\mathit{ABCD}$的形状并说明理由；

（2）求 $\mathit{BD}$的长．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象经过等边三角形 $\mathit{BOC}$的顶点 $B$， $\mathit{OC}=2$，点 $A$在反比例函数图象上，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{OA}$．

（1）求反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的表达式；

（2）若四边形 $\mathit{ACBO}$的面积是 $3\sqrt{3}$，求点 $A$的坐标．

为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．

小佳对八年级1班全班学生 $(25$名）的成绩进行分析，过程如下：

收集、整理数据：

表一

分析数据：

表二

小丽用同样的方法对八年级2班全班学生 $(25$名）的成绩进行分析，数据如下：

表三

根据以上信息，解决下列问题：

（1）已知八年级1班学生的成绩在 $80⩽x<90$这一组的数据如下：

85，87，88，80，82，85，83，85，87，85

根据上述数据，将表二补充完整；

（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．

某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：

问题提出：

如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

方案设计：

如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面 $\mathit{AC}$的遮阳蓬 $\mathit{CD}$．

数据收集：

通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线 $\mathit{DA}$与遮阳蓬 $\mathit{CD}$的夹角 $\angle \mathit{ADC}$最大 $(\angle \mathit{ADC}=77.44°)$；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线 $\mathit{DB}$与遮阳蓬 $\mathit{CD}$的夹角 $\angle \mathit{BDC}$最小 $(\angle \mathit{BDC}=30.56°)$．窗户的高度 $\mathit{AB}=2m$．

问题解决：

根据上述方案及数据，求遮阳蓬 $\mathit{CD}$的长．

（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sin 30.56°\approx 0.51$， $\cos 30.56°\approx 0.86$， $\tan 30.56°\approx 0.59$， $\sin 77.44°\approx 0.98$， $\cos 77.44°\approx 0.22$， $\tan 77.44°\approx 4.49)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=8\mathit{cm}$，点 $D$为 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{BE}=\mathit{DE}$，将 $\angle \mathit{BDE}$绕点 $D$顺时针旋转 $\alpha$度 $(0⩽\alpha ⩽83°)$，角的两边分别交直线 $\mathit{AB}$于 $M$、 $N$两点，设 $B$、 $M$两点间的距离为 $\mathit{xcm}$， $M$， $N$两点间的距离为 $\mathit{ycm}$．

小涛根据学习函数的经验，对函数 $y$随自变量 $x$的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小涛的探究过程，请补充完整．

（1）列表：下表的已知数据是 $B$， $M$两点间的距离 $x$进行取点、画图、测量，分别得到了 $y$与 $x$的几组对应值：

请你通过计算，补全表格；

（2）描点、连线，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，描出表格中各组数值所对应的点 $(x,y)$，并画出函数 $y$关于 $x$的图象．

（3）探究性质：随着自变量 $x$的不断增大，函数 $y$的变化趋势：　　．

（4）解决问题：当 $\mathit{MN}=2\mathit{BM}$时， $\mathit{BM}$的长度大约是　　 $\mathit{cm}$．（保留两位小数）．

通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．

【模型呈现】

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将斜边 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，可以推理得到 $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DAE}$，进而得到 $\mathit{AC}=\mathit{DE}$， $\mathit{BC}=\mathit{AE}$．

我们把这个数学模型称为“ $K$型”．

推理过程如下：

【模型应用】

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$内接于 $\odot O$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BC}=2$，将斜边 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转一定的角度得到 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{DE}=1$，连接 $\mathit{DO}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{FC}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，连接 $\mathit{FB}$．求证： $F{G}^2=\mathit{GO}·\mathit{GB}$．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$的图象交 $x$轴于点 $(-1,0)$， $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$．动点 $M$从点 $A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $\mathit{AB}$方向运动，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴交直线 $\mathit{BC}$于点 $N$，交抛物线于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$，设运动的时间为 $t$秒．

（1）求二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$的表达式；

（2）连接 $\mathit{BD}$，当 $t=\frac{3}{2}$时，求 $\mathit{\Delta DNB}$的面积；

（3）在直线 $\mathit{MN}$上存在一点 $P$，当 $\mathit{\Delta PBC}$是以 $\angle \mathit{BPC}$为直角的等腰直角三角形时，求此时点 $D$的坐标；

（4）当 $t=\frac{5}{4}$时，在直线 $\mathit{MN}$上存在一点 $Q$，使得 $\angle \mathit{AQC}+\angle \mathit{OAC}=90°$，求点 $Q$的坐标．