2017年北京市中考数学试卷

如图所示，点 $P$ 到直线 $l$ 的距离是 $($ 　　 $)$

若代数式 $\frac{x}{x-4}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

如图是某个几何体的展开图，该几何体是 $($ 　　 $)$

实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 $($ 　　 $)$

下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 $($ 　　 $)$

若正多边形的一个内角是 $150°$ ，则该正多边形的边数是 $($ 　　 $)$

如果 $a^2+2a-1=0$ ，那么代数式 $(a-\frac{4}{a})·\frac{a^2}{a-2}$ 的值是 $($ 　　 $)$

下面的统计图反映了我国与"一带一路"沿线部分地区的贸易情况．

$2011-2016$ 年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图

（以上数据摘自《"一带一路"贸易合作大数据报告 $\left(2017\right)$ 》 $)$

根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是 $($ 　　 $)$

小苏和小林在如图1所示的跑道上进行 $4\times 50$ 米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离 $y$ （单位： $m)$ 与跑步时间 $t$ （单位： $s)$ 的对应关系如图2所示．下列叙述正确的是 $($ 　　 $)$

如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．

下面有三个推断：

①当投掷次数是500时，计算机记录"钉尖向上"的次数是308，所以"钉尖向上"的概率是0.616；

②随着试验次数的增加，"钉尖向上"的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计"钉尖向上"的概率是0.618；

③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，"钉尖向上"的频率一定是0.620．

其中合理的是 $($ 　　 $)$

写出一个比3大且比4小的无理数： 　　．

某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为$x$元，足球的单价为$y$元，依题意，可列方程组为　　．

如图，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$M$、$N$分别为$\mathit{AC}$，$\mathit{BC}$的中点．若$S_{\mathit{\Delta CMN}}=1$，则$S_{\mathit{四边形}\mathit{ABNM}}=$　　．

如图，$\mathit{AB}$为$\odot O$的直径，$C$、$D$为$\odot O$上的点，$\widehat{\mathit{AD}}=\widehat{\mathit{CD}}$．若$\angle \mathit{CAB}=40°$，则$\angle \mathit{CAD}=$　　．

如图，在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，$\mathit{\Delta AOB}$可以看作是$\mathit{\Delta OCD}$经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由$\mathit{\Delta OCD}$得到$\mathit{\Delta AOB}$的过程：　                   ．

下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程

已知：$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$，$\angle C=90°$，求作$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的外接圆．

作法：如图2．

（1）分别以点$A$和点$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}\mathit{AB}$的长为半径作弧，两弧相交于$P$，$Q$两点；

（2）作直线$\mathit{PQ}$，交$\mathit{AB}$于点$O$；

（3）以$O$为圆心，$\mathit{OA}$为半径作$\odot O$．$\odot O$即为所求作的圆．

请回答：该尺规作图的依据是　　．

计算： $4\cos 30°+{(1-\sqrt{2})}^0-\sqrt{12}+|-2|$ ．

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}2(x+1)>5x-7\\ \frac{x+10}{3}>2x\end{array}\right.$ ．

如图，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{AB}=\mathit{AC}$，$\angle A=36°$，$\mathit{BD}$平分$\angle \mathit{ABC}$交$\mathit{AC}$于点$D$．

求证：$\mathit{AD}=\mathit{BC}$．

数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．

（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》$)$

请根据该图完成这个推论的证明过程．

证明：$S_{\mathit{矩形}\mathit{NFGD}}=S_{\mathit{\Delta ADC}}-\left(S_{\mathit{\Delta ANF}}+S_{\mathit{\Delta FGC}}\right)$，$S_{\mathit{矩形}\mathit{EBMF}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}-($　　$+$　　$)$．

易知，$S_{\mathit{\Delta ADC}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$，　　$=$　　，　　$=$　　．

可得$S_{\mathit{矩形}\mathit{NFGD}}=S_{\mathit{矩形}\mathit{EBMF}}$．

关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求$k$的取值范围．

如图，在四边形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{BD}$为一条对角线，$\mathit{AD}//\mathit{BC}$，$\mathit{AD}=2\mathit{BC}$，$\angle \mathit{ABD}=90°$，$E$为$\mathit{AD}$的中点，连接$\mathit{BE}$．

（1）求证：四边形$\mathit{BCDE}$为菱形；

（2）连接$\mathit{AC}$，若$\mathit{AC}$平分$\angle \mathit{BAD}$，$\mathit{BC}=1$，求$\mathit{AC}$的长．

如图，在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，函数$y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象与直线$y=x-2$交于点$A(3,m)$．

（1）求$k$、$m$的值；

（2）已知点$P(n$，$n\left)\right(n>0)$，过点$P$作平行于$x$轴的直线，交直线$y=x-2$于点$M$，过点$P$作平行于$y$轴的直线，交函数$y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象于点$N$．

①当$n=1$时，判断线段$\mathit{PM}$与$\mathit{PN}$的数量关系，并说明理由；

②若$\mathit{PN}⩾\mathit{PM}$，结合函数的图象，直接写出$n$的取值范围．

如图，$\mathit{AB}$是$\odot O$的一条弦，$E$是$\mathit{AB}$的中点，过点$E$作$\mathit{EC}\perp \mathit{OA}$于点$C$，过点$B$作$\odot O$的切线交$\mathit{CE}$的延长线于点$D$．

（1）求证：$\mathit{DB}=\mathit{DE}$；

（2）若$\mathit{AB}=12$，$\mathit{BD}=5$，求$\odot O$的半径．

某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．

收集数据

从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：

甲   78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

乙   93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40

整理、描述数据

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，$70--79$分为生产技能良好，$60--69$分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）

解析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

得出结论：$a$．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为　　；$b$．可以推断出　　部门员工的生产技能水平较高，理由为　　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

如图，$P$是$\widehat{\mathit{AB}}$所对弦$\mathit{AB}$上一动点，过点$P$作$\mathit{PM}\perp \mathit{AB}$交$\widehat{\mathit{AB}}$于点$M$，连接$\mathit{MB}$，过点$P$作$\mathit{PN}\perp \mathit{MB}$于点$N$．已知$\mathit{AB}=6\mathit{cm}$，设$A$、$P$两点间的距离为$\mathit{xcm}$，$P$、$N$两点间的距离为$\mathit{ycm}$．（当点$P$与点$A$或点$B$重合时，$y$的值为$0)$

小东根据学习函数的经验，对函数$y$随自变量$x$的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了$x$与$y$的几组值，如下表：

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当$\mathit{\Delta PAN}$为等腰三角形时，$\mathit{AP}$的长度约为　　$\mathit{cm}$．

在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，抛物线$y=x^2-4x+3$与$x$轴交于点$A$、$B$（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$．

（1）求直线$\mathit{BC}$的表达式；

（2）垂直于$y$轴的直线$l$与抛物线交于点$P(x_1$，$y_1)$，$Q(x_2$，$y_2)$，与直线$\mathit{BC}$交于点$N(x_3$，$y_3)$，若$x_1<x_2<x_3$，结合函数的图象，求$x_1+x_2+x_3$的取值范围．

在等腰直角$\mathit{\Delta ABC}$中，$\angle \mathit{ACB}=90°$，$P$是线段$\mathit{BC}$上一动点（与点$B$、$C$不重合），连接$\mathit{AP}$，延长$\mathit{BC}$至点$Q$，使得$\mathit{CQ}=\mathit{CP}$，过点$Q$作$\mathit{QH}\perp \mathit{AP}$于点$H$，交$\mathit{AB}$于点$M$．

（1）若$\angle \mathit{PAC}=\alpha$，求$\angle \mathit{AMQ}$的大小（用含$\alpha$的式子表示）．

（2）用等式表示线段$\mathit{MB}$与$\mathit{PQ}$之间的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中的点$P$和图形$M$，给出如下的定义：若在图形$M$上存在一点$Q$，使得$P$、$Q$两点间的距离小于或等于1，则称$P$为图形$M$的关联点．

（1）当$\odot O$的半径为2时，

①在点$P_1(\frac{1}{2}$，$0)$，$P_2(\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2})$，$P_3(\frac{5}{2}$，$0)$中，$\odot O$的关联点是　 　．

②点$P$在直线$y=-x$上，若$P$为$\odot O$的关联点，求点$P$的横坐标的取值范围．

（2）$\odot C$的圆心在$x$轴上，半径为2，直线$y=-x+1$与$x$轴、$y$轴交于点$A$、$B$．若线段$\mathit{AB}$上的所有点都是$\odot C$的关联点，直接写出圆心$C$的横坐标的取值范围．