2015年全国统一高考理科数学试卷（天津卷）

已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，集合 $A=\{2,3,5,6\}$，集合 $B=\{1,3,4,6,7\}$，则集合 $A\cap C_{u}B=$（  ）

设变量 $x,y$满足约束条件 $\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\\ x-y+3\ge 0\\ 2x+y-3\le 0\end{array}$，则目标函数 $z=x+6y$的最大值为（  ）

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 $S$的值为（）

设 $x\in R$，则" $\left|x-2\right|<1$"是" $x^2+x-2>0$"的（）

如图，在圆 $O$中， $M,N$是弦 $AB$的三等分点，弦 $CD,CE$分别经过点 $M,N$.若 $CM=2,MD=4,CN=3$，则线段 $NE$的长为（  ）

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$的一条渐近线过点 $\left(2,\sqrt{3}\right)$，且双曲线的一个焦点在抛物线 $y^2=4\sqrt{7}x$的准线上，则双曲线的方程为（）

已知定义在 $R$上的函数 $f\left(x\right)=2^{\left|x-m\right|}-1$（ $m$为实数）为偶函数，记 $a=f\left({\log }_{0.5}3\right),b=f\left({\log }_{2}5\right),c=f\left(2m\right)$，则 $a,b,c$的大小关系为（）

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2-\left|x\right|& x\le 2\\ {\left(x-2\right)}^2& x>2\end{array}\right.$,函数 $g\left(x\right)=b-f\left(2-x\right)$,其中 $b\in R$，若函数 $y=f\left(x\right)-g\left(x\right)$恰有4个零点，则 $b$的取值范围是（）

$i$是虚数单位，若复数 $\left(1-2i\right)\left(a+i\right)$是纯虚数，则实数 $a$的值为.

一个几何体的三视图如图所示（单位： $m$）,则该几何体的体积为.

曲线 $y=x^2$与直线 $y=x$所围成的封闭图形的面积为.

在 $(x-\frac{1}{4x}{)}^6$的展开式中， $x^2$的系数为.

在 $∆ABC$中,内角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$,已知 $∆ABC$的面积为 $3\sqrt{15}$, $b-c=2,\cos A=-\frac{1}{4}$,则 $a$的值为.

在等腰梯形 $ABCD$中,已知 $AB//DC,AB=2,\angle ABC=60°$,动点 $E$和 $F$分别在线段 $BC$和 $DC$上,且 $\stackrel{\rightharpoonup }{BE}=\lambda \stackrel{\rightharpoonup }{BC}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{DF}=\frac{1}{9\lambda }\stackrel{\rightharpoonup }{DC}$,则 $\stackrel{\rightharpoonup }{AE}·\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{AF}}$的最小值为.

已知函数 $f\left(x\right)={\sin }^{2}x-{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{6}\right),x\in R$

（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$最小正周期;
（Ⅱ）求 $f\left(x\right)$在区间 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}\right]$上的最大值和最小值.

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（Ⅰ）设 $A$为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"求事件 $A$发生的概率；
（Ⅱ）设 $X$为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 $X$的分布列和数学期望.

如图，在四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中，侧棱 $A_{1}A\perp \mathrm{底面}ABCD$, $AB\perp AC,AB=1,AC=A{A}_1=2,AD=CD=\sqrt{5}$,且点M和N分别为 $B_{1}C\mathrm{和}{D}_{1}D$的中点.

（Ⅰ）求证： $MN\parallel$平面 $ABCD$；
（Ⅱ）求二面角 $D_1-AC-B_1$的正弦值；
（Ⅲ）设 $E$为棱 $A_1{B}_1$上的点，若直线 $NE$和平面 $ABCD$所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$，求线段 $A_{1}E$的长

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_{n+2}=q{a}_n$( $q\mathrm{为实数}，且q\ne 1$), $n\in N^{*}$, $a_1=1,a_2=2$，且 $a_2+a_3$, $a_3+a_4$, $a_4+a_5$成等差数列.
（Ⅰ）求 $q$的值和 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_n=\frac{{\log }_2{a}_{2n}}{a_{2n-1}}$, $n\in N^{*}$，求数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和.

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦点为 $F(-c,0)$,离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，点M在椭圆上且位于第一象限，直线 $FM$被圆 $x^2+y^2=\frac{b^2}{4}$截得的线段的长为 $c$， $\left|FM\right|=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

（Ⅰ）求直线 $FM$的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点 $P$在椭圆上，若直线 $FP$的斜率大于 $\sqrt{2}$，求直线 $OP$（ $O$为原点）的斜率的取值范围.

已知函数 $f\left(x\right)=nx-x^n,x\in R$，其中 $n\in N^{*},n\ge 2$.
（Ⅰ）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；
（Ⅱ）设曲线 $y=f\left(x\right)$与 $x$轴正半轴的交点为 $P$，曲线在点 $P$处的切线方程为 $y=g\left(x\right)$,求证：对于任意的正实数 $x$，都有 $f\left(x\right)<g\left(x\right)$；
（Ⅲ）若关于 $x$的方程 $f\left(x\right)=a$( $a$为实数）有两个正实根 $x_1,x_2$，求证： $\left|x_2-x_1\right|<\frac{a}{1-n}+2$