已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的左焦点为 F ( - c , 0 ) ,离心率为 3 3 ,点M在椭圆上且位于第一象限,直线 F M 被圆 x 2 + y 2 = b 2 4 截得的线段的长为 c , F M = 4 3 3
(Ⅰ)求直线 F M 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 F P 的斜率大于 2 ,求直线 O P ( O 为原点)的斜率的取值范围.
(本小题满分14分)如图,在五面体中,四边形是边长为4的正方形,,平面平面,且,,点G是EF的中点.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)若直线BF与平面所成角的正弦值为,求的长;(Ⅲ)判断线段上是否存在一点,使//平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(本小题满分13分)2014年12月28日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.(不考虑公交卡折扣情况)
已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过5元,现从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示.(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选1人,试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率;(Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人,记X为这2人乘坐地铁的票价和,根据统计图,并以频率作为概率,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元,返程时,小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里,试写出s的取值范围.(只需写出结论)
(本小题满分13分)设函数,.(Ⅰ)当时,求函数的值域;(Ⅱ)已知函数的图象与直线有交点,求相邻两个交点间的最短距离.
(本小题满分13分)已知函数,.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,求证:在上为增函数;(Ⅲ)若在区间上有且只有一个极值点,求的取值范围.
(本小题满分14分)已知椭圆的两个焦点分别为,离心率为.过焦点的直线(斜率不为0)与椭圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点,直线交椭圆于两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)当四边形为矩形时,求直线的方程.