湖南省长沙市高考模拟理科数学试卷

设复数满足，则 = （     ）

A．

B．

C．

D．

设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的（     ）

某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为（     ）

执行如右图所示的程序框图,若输出的值为22，那么输入的值等于（     ）

如图，矩形的四个顶点正弦曲线和余弦曲线在矩形内交于点F，向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（     ）

A．

B．

C．

D．

设函数f（x）=sin（2）+cos（2），且其图象关于直线x=0对称，则（     ）

A．y =f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数

B．y =f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数

C．y =f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数

D．y =f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数

已知为椭圆的两个焦点，P在椭圆上且满足，则此椭圆离心率的取值范围是（     ）

A．

B．

C．

D．

已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（     ）

A．	B．
C．	D．

过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B，C两点．若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________．

在极坐标系内，已知曲线C₁的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程为（为参数）．设点P为曲线C₂上的动点，过点P作曲线C₁的两条切线，则这两条切线所成角的最大值是_______．

不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为        ．

三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于               ．

二项式的展开式中常数项为       （用数字作答）。

已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（   ）

A．或－1

B．2或

C．2或1

D．2或－1

已知数列中，，
①b=1时，="12;"                    
②存在，数列成等比数列；
③当时，数列是递增数列；
④当时数列是递增数列
以上命题为真命题的是             ．（写出所有真命题对应的序号）。

若函数 y =f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x_o（a<x_o<b），满足f（x_o）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x_o是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．
（1）若函数，f（x）= x²-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是      ．
（2）若f（x）=㏑x是区间[a，b]（b>a≥1）上的“平均值函数”，x_o是它的一个均值点，则㏑x_o与 的大小关系是      ．

（本小题满分12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．

（Ⅰ）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；
（Ⅱ）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望．

（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点．

（Ⅰ）求证:平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

（本小题满分12分）节能减排是现代生活的追求。长沙地区某一天的温度（单位：）随时间（单位：小时）的变化近似满足函数关系：，
且早上8时的温度为，．
（Ⅰ）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？
（Ⅱ）某通宵营业的超市，为节约能源和开支，在环境温度超过时，才开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？

（本小题满分13分）已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和．
（Ⅰ）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体正整数组成的集合．
（ⅰ）求的值；  
（ⅱ）求数列的通项公式．

（本小题满分13分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率虚轴长为2．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若直线与双曲线相交于，两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

（本小题满分13分）已知为常数，在处的切线方程为．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若任意实数，使得对任意的上恒有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）求证：对任意正整数，有．