高中数学导数的概念及其意义试题

计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2-3n+1}{n^2-4n+1}=$ ________．

设函数 $f\left(x\right)={\text{e}}^x\cos x,g\left(x\right)$为 $f\left(x\right)$的导函数．

（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（Ⅱ）当 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$时，证明 $f\left(x\right)+g\left(x\right)\left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ge 0$；

（Ⅲ）设 $x_n$为函数 $u\left(x\right)=f\left(x\right)-1\mathit{}$在区间 $\left(2\mathit{n\pi }+\frac{\pi }{4},2\mathit{n\pi }+\frac{\pi }{2}\right)$内的零点，其中 $n\in N$，证明 $2\mathit{n\pi }+\frac{\pi }{2}-x_n<\frac{e^{-2\mathit{n\pi }}}{\sin x_0-\cos x_0}$．

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^3-x^2+x$ ．

（Ⅰ）求曲线 $y=f\left(x\right)$ 的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当 $x\in [-2,4]$ 时，求证： $x-6\le f\left(x\right)\le x$ ；

（Ⅲ）设 $F\left(x\right)=\left|f\right(x)-(x+a\left)\right|(a\in R)$ ，记 $F\left(x\right)$ 在区间 $[-2,4]$ 上的最大值为 $M\left(a\right)$ ，当 $M\left(a\right)$ 最小时，求 $a$ 的值．

设函数 $f\left(x\right)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c\in \text{R}$ 、 $f\text{'}\left(x\right)$ 为f（x）的导函数．

（1）若 a= b= c ， f（4）=8，求 a的值；

（2）若 a≠ b ， b= c ， 且 f（ x）和 $f\text{'}\left(x\right)$ 的零点均在集合 $\text{{}-3,1,3\text{}}$ 中，求 f（ x）的极小值；

（3）若 $a=0,0<b⩽1,c=1$ ，且 f（ x）的极大值为 M，求证: M≤ $\frac{4}{27}$ ．