初中数学三角形的五心试题

如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到B停止，连接AP，AQ，PQ．设△APQ的面积为y（cm²）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．
（1）填空：AB=　  　cm，AB与CD之间的距离为　 　cm；
（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．

如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

如图，BC是半圆O的直径，点A在半圆O上，点D是AC的中点，点E在上运动．若AB=2，tan∠ACB=，请问：分别以点A、E、D为直角顶点的等腰三角形AED存在吗？请逐一说明理由．

阅读下列材料：
问题：如图1，在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作直线
EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.
求证：EG =AG+BG.
小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB交GE于点H，构造全等三角形，经过推理使
问题得到解决.
参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）完成上面问题中的证明；
（2）如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.

图1                              图2

如图，已知正方形ABCD，AC、BD相交于点O，E为AC上一点，AH⊥EB交EB于点H，AH交BD于点F．
（1）若点E在图1的位置，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论；
（2）若点E在AC的延长线上，请在图2中按题目要求补全图形，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论．

如图，先将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B′，C′在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG折叠，使AE落在EF上，则∠AEG=　　度．

阅读下列材料：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及此时的值是多少．

在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法，解决以下问题：
（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，=　　；
（2）如图3，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PB为边作□PBQE，那么对角线PQ的最小值为　　，此时=　　；
（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作□PCQE，那么对角线PQ的最小值为　　，此时=　　．

在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．
（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．
①求证：△ABP≌△ACE．
②∠ECM的度数为　   　°．
（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为　    　°．
②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为　    　°．
（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．

操作发现
将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的长．

我们知道平行四边形有很多性质.
现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
【发现与证明】ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.
结论1：B′D∥AC；
结论2：△AB′C与ABCD重叠部分的图形是等腰三角形.
……
请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）.
【应用与探究】在ABCD中，已知∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.
（1）如图1，若，则∠ACB=       °，BC=       ；
（2）如图2，，BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积；
（3）已知，当BC长为多少时，是△AB′D直角三角形？

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；
②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则△ABC的面积为　_________　（直接写出结果，不需要写出计算过程）．

如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（　　）

A．5        B．4        C．3        D．2

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．
（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；
（2）求证：2AD•NF=DE•DM．

在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE.
（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长；
（2）求证：EF+EG=CE.