初中数学相似多边形的性质解答题

如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．

已知点P为线段AB的黄金分割点（AP>BP）,且AB=2，求BP的长．

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC.

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=AD·AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30⁰，求图中阴影部分的面积．

如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.

（1）设Rt△CBD的面积为S₁, Rt△BFC的面积为S₂, Rt△DCE的面积为S₃ , 则S₁       S₂+ S₃(用“>”、“=”、“<”填空)；
（2）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.

网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．

如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．

（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　   　；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．

请在图中补全坐标系及缺失的部分，并在横线上写恰当的内容。图中各点坐标如下：A(1，0)，B(6，0)，C(1，3)，D(6，2)。线段AB上有一点M，使△ACM∽△BDM，且相似比不等于1。求出点M的坐标并证明你的结论。

解：M（　 　，　 　）
证明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAM=∠DBM=　 　度。
∵CA=AM=3，DB=BM=2，∴∠ACM=∠AMC（　 　），∠BDM=∠BMD（同理），
∴∠ACM= (180°－　 　) ＝45°。 ∠BDM＝45°(同理)。
∴∠ACM＝∠BDM。
在△ACM与△BDM中，，
∴△ACM∽△BDM（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）。

如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．

如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，
求证：△ABC∽△DEF

如图，是一个照相机成像的示意图．

（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？

如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以 点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上. 

（1）画出位似中心点O； 
（2）直接写出△ABC与△A’B’C’的位似比            ； 
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点 O中心对称的△A"B"C"，如果△ABC内部一点M的坐标为（x，y），写出△A"B"C"中M的对应点M"的坐标             。

如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．

（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一：        ；结论二：         ；结论三：          ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

利用位似图形的方法把四边形ABCD缩小为原来的．
 

（1）如图①，P为△ABC的边AB上一点（P不与点A、点B重合），连接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就称P为△ABC的边AB上的相似点．
画法初探
①如图②，在△ABC中，∠ACB＞90°，画出△ABC的边AB上的相似点P（画图工具不限，保留画图痕迹或有必要的说明）；

辩证思考
②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似点的三角形；
特例分析
③已知P为△ABC的边AB上的相似点，连接PC，若△ACP∽△ABC，则△ABC的形状是   ；
④如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是边AB上的相似点，求的值．
（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的点（P不与点A、点B重合），作PQ⊥CD，垂足为Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就称PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线．

①类比（1）中的“画法初探”，可以提出问题：对于如图④的矩形ABCD，在不限制画图工具的前提下，如何画出它的边AB、CD上的相似线PQ呢？
你的解答是：   （只需描述PQ的画法，不需在图上画出PQ）．
②请继续类比（1）中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行研究，要求每个栏目提出一个问题并解决．

在平面直角坐标系xOy中，点的坐标是，过点作直线垂直轴，点是直线上异于点的一点，且.过点作直线的垂线，点在直线上，且在直线的下方，.设点的坐标为.

（1）判断△的形状，并加以证明；
（2）直接写出与的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）延长交（2）中所求函数的图象于点.求证：.