初中数学翻折变换（折叠问题）试题

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 折叠 $(\mathit{AD}>\mathit{AB})$ ，使 $\mathit{AB}$ 落在 $\mathit{AD}$ 上， $\mathit{AE}$ 为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上， $E$ 点不动，将 $\mathit{BE}$ 边折起，使点 $B$ 落在 $\mathit{AE}$ 上的点 $G$ 处，连接 $\mathit{DE}$ ，若 $\mathit{DE}=\mathit{EF}$ ， $\mathit{CE}=2$ ，则 $\mathit{AD}$ 的长为 　　．

折叠矩形纸片 $\mathit{ABCD}$时，发现可以进行如下操作：①把 $\mathit{\Delta ADE}$翻折，点 $A$落在 $\mathit{DC}$边上的点 $F$处，折痕为 $\mathit{DE}$，点 $E$在 $\mathit{AB}$边上；②把纸片展开并铺平；③把 $\mathit{\Delta CDG}$翻折，点 $C$落在线段 $\mathit{AE}$上的点 $H$处，折痕为 $\mathit{DG}$，点 $G$在 $\mathit{BC}$边上，若 $\mathit{AB}=\mathit{AD}+2$， $\mathit{EH}=1$，则 $\mathit{AD}=$　　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是一张正方形纸片，其面积为 $25c{m}^2$．分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$上顺次截取 $\mathit{AE}=\mathit{BF}=\mathit{CG}=\mathit{DH}=\mathit{acm}(\mathit{AE}>\mathit{BE})$，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$， $\mathit{GH}$， $\mathit{HE}$．分别以 $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$， $\mathit{GH}$， $\mathit{HE}$为轴将纸片向内翻折，得到四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$．若四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的面积为 $9c{m}^2$，则 $a=$　　．

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$，将 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $\mathit{AC}$折叠，使点 $B$落在点 $E$处， $\mathit{CE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$，则 $\mathit{DF}$的长等于 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{5}$B． $\frac{5}{3}$C． $\frac{7}{3}$D． $\frac{5}{4}$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是矩形， $E$ 、 $F$ 分别是线段 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 上的点，点 $O$ 是 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{BD}$ 的交点．若将 $\mathit{\Delta BED}$ 沿直线 $\mathit{BD}$ 折叠，则点 $E$ 与点 $F$ 重合．

（1）求证：四边形 $\mathit{BEDF}$ 是菱形；

（2）若 $\mathit{ED}=2\mathit{AE}$ ， $\mathit{AB}\cdot \mathit{AD}=3\sqrt{3}$ ，求 $\mathit{EF}\cdot \mathit{BD}$ 的值．

如图1，将 $\mathit{\Delta ABC}$纸片沿中位线 $\mathit{EH}$折叠，使点 $A$对称点 $D$落在 $\mathit{BC}$边上，再将纸片分别沿等腰 $\mathit{\Delta BED}$和等腰 $\mathit{\Delta DHC}$的底边上的高线 $\mathit{EF}$， $\mathit{HG}$折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．

（1）将 $▱\mathit{ABCD}$纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形 $\mathit{AEFG}$，则操作形成的折痕分别是线段　　，　　； $S_{\mathit{矩形}\mathit{AEFG}}:S_{▱\mathit{ABCD}}=$　　．

（2） $▱\mathit{ABCD}$纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形 $\mathit{EFGH}$，若 $\mathit{EF}=5$， $\mathit{EH}=12$，求 $\mathit{AD}$的长；

（3）如图4，四边形 $\mathit{ABCD}$纸片满足 $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}<\mathit{BC}$， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=10$，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的长．

如图，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展平后再次折叠，使点 $A$落在 $\mathit{EF}$上的点 $A\text{'}$处，得到折痕 $\mathit{BM}$， $\mathit{BM}$与 $\mathit{EF}$相交于点 $N$．若直线 $\mathit{BA}\text{'}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $O$， $\mathit{BC}=5$， $\mathit{EN}=1$，则 $\mathit{OD}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}\sqrt{3}$B． $\frac{1}{3}\sqrt{3}$C． $\frac{1}{4}\sqrt{3}$D． $\frac{1}{5}\sqrt{3}$

一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，已知 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=2$，小明按如图步骤折叠纸片，则线段 $\mathit{DG}$长为 $($　　 $)$

A． $\sqrt{2}$B． $2\sqrt{2}$C．1D．2

如图，将 $▱\mathit{ABCD}$ 沿对角线 $\mathit{AC}$ 翻折，点 $B$ 落在点 $E$ 处， $\mathit{CE}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，若 $\angle B=80°$ ， $\angle \mathit{ACE}=2\angle \mathit{ECD}$ ， $\mathit{FC}=a$ ， $\mathit{FD}=b$ ，则 $▱\mathit{ABCD}$ 的周长为 　　．

如图，把一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 $\mathit{BEF}$，若 $\mathit{BC}=1$，则 $\mathit{AB}$的长度为 $($　　 $)$

A． $\sqrt{2}$B． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$D． $\frac{4}{3}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ 为边 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{\Delta ADC}$ 沿直线 $\mathit{AD}$ 翻折至 $\mathit{\Delta ABC}$ 所在平面内，得 $\mathit{\Delta ADC}\text{'}$ ，连接 $\mathit{CC}\text{'}$ ，分别与边 $\mathit{AB}$ 交于点 $E$ ，与 $\mathit{AD}$ 交于点 $O$ ．若 $\mathit{AE}=\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}\text{'}=2$ ，则 $\mathit{AD}$ 的长为 　　．

如图，将长、宽分别为 $12\mathit{cm}$ ， $3\mathit{cm}$ 的长方形纸片分别沿 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 折叠，点 $M$ ， $N$ 恰好重合于点 $P$ ．若 $\angle \alpha =60°$ ，则折叠后的图案（阴影部分）面积为 $($ 　　 $)$

A．

$(36-6\sqrt{3})c{m}^2$

B．

$(36-12\sqrt{3})c{m}^2$

C．

$24c{m}^2$

D．

$36c{m}^2$

将一张圆形纸片（圆心为点 $O)$沿直径 $\mathit{MN}$对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线 $\mathit{AB}$剪开，再将 $\mathit{\Delta AOB}$展开得到如图3的一个六角星．若 $\angle \mathit{CDE}=75°$，则 $\angle \mathit{OBA}$的度数为 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ， $\mathit{AC}=6$ ，点 $E$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上，且 $\mathit{AE}=1$ ， $D$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的一点，连接 $\mathit{DE}$ ，把四边形 $\mathit{ABDE}$ 沿直线 $\mathit{DE}$ 翻折，得到四边形 $F\mathit{GDE}$ ，当点 $G$ 恰好落在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\mathit{AF}=$ 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$， $\angle B=45°$， $\angle C=60°$．

（1）求 $\mathit{BC}$边上的高线长．

（2）点 $E$为线段 $\mathit{AB}$的中点，点 $F$在边 $\mathit{AC}$上，连结 $\mathit{EF}$，沿 $\mathit{EF}$将 $\mathit{\Delta AEF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PEF}$．

①如图2，当点 $P$落在 $\mathit{BC}$上时，求 $\angle \mathit{AEP}$的度数．

②如图3，连结 $\mathit{AP}$，当 $\mathit{PF}\perp \mathit{AC}$时，求 $\mathit{AP}$的长．