初中数学作图—复杂作图试题

已知：如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 为锐角三角形， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$ ．

求作：线段 $\mathit{BP}$ ，使得点 $P$ 在直线 $\mathit{CD}$ 上，且 $\angle \mathit{ABP}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}$ ．

作法：①以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AC}$ 长为半径画圆，交直线 $\mathit{CD}$ 于 $C$ ， $P$ 两点；

②连接 $\mathit{BP}$ ．

线段 $\mathit{BP}$ 就是所求作的线段．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明： $\because \mathit{CD}//\mathit{AB}$ ，

$\therefore \angle \mathit{ABP}=$ 　 $\angle \mathit{BPC}$ 　．

$\because \mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，

$\therefore$ 点 $B$ 在 $\odot A$ 上．

又 $\because$ 点 $C$ ， $P$ 都在 $\odot A$ 上，

$\therefore \angle \mathit{BPC}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}($ 　　 $)$ （填推理的依据）．

$\therefore \angle \mathit{ABP}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}$ ．

尺规作图：如图，l₁、l₂交于A点，P、Q的位置如图所示，试确定M点，使它到l₁、l₂的距离相等，且到P、Q两点的距离也相等．（保留作图痕迹）

如图，点C、D 分别在∠AOB 的两边上．求作⊙P，使它与OA、OB、CD 都相切（不写作法，保留作图痕迹）．

（1）如图①，用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法,保留作图痕迹）；
（2）如图②，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）．

如图，已知△ABC，用直尺（没有刻度）和圆规在平面上求作一个点P，使P到∠A两边的距离相等，且PA=PB．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

尺规作图，不写作法，保留作图痕迹。

（1）在图1中做∠AOB的平分线OH；
（2）在图2中作线段EF的垂直平分线PQ。
（3） 如图3：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等。

如图所示，要在公园（四边形ABCD）中建造一座音乐喷泉，喷泉位置应符合如下要求：

（1）到公园两个出入口A、C的距离相等；
（2）到公园两边围墙AB、AD的距离相等．
请你用尺规作图的方法确定喷泉的位置P．（不必写作法，但要保留作图痕迹）

作图题：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．

（年江西省南昌市）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC；
（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．

下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：如图1， $\left(1\right)$分别在射线OA，OB上截取 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$， $\mathit{OE}=\mathit{OF}($点C，E不重合 $)$； $\left(2\right)$分别作线段CE，DF的垂直平分线 $l_1$， $l_2$，交点为P，垂足分别为点G，H； $\left(3\right)$作射线OP，射线即为 $\angle \mathit{AOB}$的平分线． 简述理由如下： 由作图知， $\angle \mathit{PGO}=\angle \mathit{PHO}=90°$， $\mathit{OG}=\mathit{OH}$， $\mathit{OP}=\mathit{OP}$，所以 $\mathit{Rt}△\mathit{PGO}$≌ $\mathit{Rt}△\mathit{PHO}$，则 $\angle \mathit{POG}=\angle \mathit{POH}$，即射线OP是 $\angle \mathit{AOB}$的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， $\left(1\right)$分别在射线OA，OB上截取 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$， $\mathit{OE}=\mathit{OF}($点C，E不重合 $)$； $\left(2\right)$连接DE，CF，交点为P； $\left(3\right)$作射线 $\mathit{OP}.$射线OP即为 $\angle \mathit{AOB}$的平分线． $\dots \dots$

任务：

$\left(1\right)$小明得出 $\mathit{Rt}△\mathit{PGO}$≌ $\mathit{Rt}△\mathit{PHO}$的依据是______ $($填序号 $)$．

$\mathit{①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL}$

$\left(2\right)$小军作图得到的射线0P是 $\angle \mathit{AOB}$的平分线吗？请判断并说明理由．

$\left(3\right)$如图3，已知 $\angle \mathit{AOB}=60°$，点E，F分别在射线OA，OB上，且 $\mathit{OE}=\mathit{OF}=\sqrt{3}+1.$点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$，连接DE，CF，交点为P，当 $\angle \mathit{CPE}=30°$时，直接写出线段OC的长．