初中数学两点间的距离公式试题

平面直角坐标系中，点 $P(-3,4)$到原点的距离是　    　．

探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点 $P_1(x_1$， $y_1)$， $P_2(x_2$， $y_2)$，可通过构造直角三角形利用图1得到结论： $P_1{P}_2=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$他还利用图2证明了线段 $P_1{P}_2$的中点 $P(x,y)P$的坐标公式： $x=\frac{x_1+x_2}{2}$， $y=\frac{y_1+y_2}{2}$．

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；

运用：（2）①已知点 $M(2,-1)$， $N(-3,5)$，则线段 $\mathit{MN}$长度为　　；

②直接写出以点 $A(2,2)$， $B(-2,0)$， $C(3,-1)$， $D$为顶点的平行四边形顶点 $D$的坐标：　　；

拓展：（3）如图3，点 $P(2,n)$在函数 $y=\frac{4}{3}x(x⩾0)$的图象 $\mathit{OL}$与 $x$轴正半轴夹角的平分线上，请在 $\mathit{OL}$、 $x$轴上分别找出点 $E$、 $F$，使 $\mathit{\Delta PEF}$的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，对于不在坐标轴上的任意一点 $P(x,y)$，我们把点 $P\text{'}(\frac{1}{x}$， $\frac{1}{y})$称为点 $P$的“倒影点”，直线 $y=-x+1$上有两点 $A$， $B$，它们的倒影点 $A\text{'}$， $B\text{'}$均在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上．若 $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$，则 $k=$　　．

数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究一：求不等式 $|x-1|<2$的解集

（1）探究 $|x-1|$的几何意义

如图①，在以 $O$为原点的数轴上，设点 $A\text{'}$对应的数是 $x-1$，由绝对值的定义可知，点 $A\text{'}$与点 $O$的距离为 $|x-1|$，可记为 $A\text{'}O=|x-1|$．将线段 $A\text{'}O$向右平移1个单位得到线段 $\mathit{AB}$，此时点 $A$对应的数是 $x$，点 $B$对应的数是1．因为 $\mathit{AB}=A\text{'}O$，所以 $\mathit{AB}=|x-1|$．因此， $|x-1|$的几何意义可以理解为数轴上 $x$所对应的点 $A$与1所对应的点 $B$之间的距离 $\mathit{AB}$．

（2）求方程 $|x-1|=2$的解

因为数轴上3和 $-1$所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3， $-1$．

（3）求不等式 $|x-1|<2$的解集

因为 $|x-1|$表示数轴上 $x$所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数 $x$的范围．

请在图②的数轴上表示 $|x-1|<2$的解集，并写出这个解集．

探究二：探究 $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$的几何意义

（1）探究 $\sqrt{x^2+y^2}$的几何意义

如图③，在直角坐标系中，设点 $M$的坐标为 $(x,y)$，过 $M$作 $\mathit{MP}\perp x$轴于 $P$，作 $\mathit{MQ}\perp y$轴于 $Q$，则 $P$点坐标为 $(x,0)$， $Q$点坐标为 $(0,y)$， $\mathit{OP}=\left|x\right|$， $\mathit{OQ}=\left|y\right|$，在 $\text{Rt}\Delta \text{OPM}$中， $\mathit{PM}=\mathit{OQ}=\left|y\right|$，则 $\mathit{MO}=\sqrt{O{P}^2+P{M}^2}=\sqrt{|x{|}^2+|y{|}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$，因此， $\sqrt{x^2+y^2}$ 的几何意义可以理解为点 $M(x,y)$与点 $O(0,0)$之间的距离 $\mathit{MO}$．

（2）探究 $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$的几何意义

如图④，在直角坐标系中，设点 $A\text{'}$的坐标为 $(x-1,y-5)$，由探究二（1）可知， $A\text{'}O=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$，将线段 $A\text{'}O$先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段 $\mathit{AB}$，此时点 $A$的坐标为 $(x,y)$，点 $B$的坐标为 $(1,5)$，因为 $\mathit{AB}=A\text{'}O$，所以 $\mathit{AB}=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$，因此 $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$的几何意义可以理解为点 $A(x,y)$与点 $B(1,5)$之间的距离 $\mathit{AB}$．

（3）探究 $\sqrt{{(x+3)}^2+{(y-4)}^2}$的几何意义

请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．

（4） $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$的几何意义可以理解为：　　．

拓展应用：

（1） $\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}+\sqrt{{(x+1)}^2+{(y+5)}^2}$的几何意义可以理解为：点 $A(x,y)$与点 $E(2,-1)$的距离和点 $A(x,y)$与点 $F$　　（填写坐标）的距离之和．

（2） $\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}+\sqrt{{(x+1)}^2+{(y+5)}^2}$的最小值为　　（直接写出结果）

已知点 $P(x_0$， $y_0)$和直线 $y=\mathit{kx}+b$，则点 $P$到直线 $y=\mathit{kx}+b$的距离证明可用公式 $d=\frac{|k{x}_0-y_0+b|}{\sqrt{1+k^2}}$计算．

例如：求点 $P(-1,2)$到直线 $y=3x+7$的距离．

解：因为直线 $y=3x+7$，其中 $k=3$， $b=7$．

所以点 $P(-1,2)$到直线 $y=3x+7$的距离为： $d=\frac{|k{x}_0-y_0+b|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|3\times (-1)-2+7|}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点 $P(1,-1)$到直线 $y=x-1$的距离；

（2）已知 $\odot Q$的圆心 $Q$坐标为 $(0,5)$，半径 $r$为2，判断 $\odot Q$与直线 $y=\sqrt{3}x+9$的位置关系并说明理由；

（3）已知直线 $y=-2x+4$与 $y=-2x-6$平行，求这两条直线之间的距离．

如图，已知点 $\mathit{A}$、 $\mathit{C}$在反比例函数 $\mathit{y}\mathit{=}\frac{\mathit{a}}{\mathit{x}}$的图象上，点 $\mathit{B}$， $\mathit{D}$在反比例函数 $\mathit{y}\mathit{=}\frac{\mathit{b}}{\mathit{x}}$的图象上， $\mathit{a}\mathit{>}\mathit{b}\mathit{>}\mathit{0}$， $\mathit{AB}\mathit{/}\mathit{/}\mathit{CD}\mathit{/}\mathit{/}\mathit{x}$轴， $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$在 $\mathit{x}$轴的两侧， $\mathit{AB}\mathit{=}\frac{\mathit{3}}{\mathit{4}}$， $\mathit{CD}\mathit{=}\frac{\mathit{3}}{\mathit{2}}$， $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$间的距离为6，则 $\mathit{a}\mathit{-}\mathit{b}$的值是　    　．