初中数学因式分解的应用试题

已知： $x^2-y^2=12$， $x+y=3$，求 $2x^2-2\mathit{xy}$的值．

我们知道，任意一个正整数 $n$都可以进行这样的分解： $n=p\times q(p$， $q$是正整数，且 $p⩽q)$，在 $n$的所有这种分解中，如果 $p$， $q$两因数之差的绝对值最小，我们就称 $p\times q$是 $n$的最佳分解．并规定： $F\left(n\right)=\frac{p}{q}$．

例如12可以分解成 $1\times 12$， $2\times 6$或 $3\times 4$，因为 $12-1>6-2>4-3$，所以 $3\times 4$是12的最佳分解，所以 $F\left(12\right)=\frac{3}{4}$．

（1）如果一个正整数 $m$是另外一个正整数 $n$的平方，我们称正整数 $m$是完全平方数．

求证：对任意一个完全平方数 $m$，总有 $F\left(m\right)=1$；

（2）如果一个两位正整数 $t$， $t=10x+y(1⩽x⩽y⩽9$， $x$， $y$为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数 $t$为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；

（3）在（2）所得“吉祥数”中，求 $F\left(t\right)$的最大值．

设 $a$， $b$是实数，定义 $@$的一种运算如下： $a@b={(a+b)}^2-{(a-b)}^2$，则下列结论：

①若 $a@b=0$，则 $a=0$或 $b=0$

② $a@(b+c)=a@b+a@c$

③不存在实数 $a$， $b$，满足 $a@b=a^2+5b^2$

④设 $a$， $b$是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当 $a=b$时， $a@b$最大．

其中正确的是 $($　　 $)$

A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③

已知 $y\ne 0$，且 $x^2-3\mathit{xy}-4y^2=0$．则 $\frac{x}{y}$的值是　 　．

已知 $x+y=\sqrt{3}$， $\mathit{xy}=\sqrt{6}$，则 $x^{2}y+x{y}^2$的值为　 $3\sqrt{2}$　．

已知 $x$， $y$满足方程组 $\left\{\begin{array}{c}x-2y=5\\ x+2y=-3\end{array}\right.$，则 $x^2-4y^2$的值为　　．

若 $a+b=2$， $\mathit{ab}=-3$，则代数式 $a^{3}b+2a^2{b}^2+a{b}^3$的值为　　．

若 $a+b=1$，则 $a^2-b^2+2b-2=$　　．

已知 $|x-y+2|+\sqrt{x+y-2}=0$，则 $x^2-y^2$的值为　     　．

已知 $x+y=0.2$， $x+3y=1$，则代数式 $x^2+4\mathit{xy}+4y^2$的值为　　．

已知 $x-y=2$， $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1$，求 $x^{2}y-x{y}^2$的值．

若 $\mathit{ab}=2$， $a-b=-1$，则代数式 $a^{2}b-a{b}^2$的值等于　　．

若 $a+b=4$， $a-b=1$，则 ${(a+1)}^2-{(b-1)}^2$的值为　　．

若实数满足，则　　．

已知非零实数 $a$， $b$满足 $a+b=3$， $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2}$，求代数式 $a^{2}b+a{b}^2$的值．