初中数学规律型：数字的变化类填空题

观察下列各等式：

① $2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$；

② $3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$；

③ $4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4+\frac{4}{15}}$；

$\dots$

根据以上规律，请写出第5个等式：　　．

若把第 $n$个位置上的数记为 $x_n$，则称 $x_1$， $x_2$， $x_3$， $\dots$， $x_n$有限个有序放置的数为一个数列 $A$．定义数列 $A$的“伴生数列” $B$是： $y_1$， $y_2$， $y_3$， $\dots$， $y_n$，其中 $y_n$是这个数列中第 $n$个位置上的数， $n=1$，2， $\dots$， $k$且 $y_n=\left\{\begin{array}{c}0,x_{n-1}=x_{n+1}\\ 1,x_{n-1}\ne x_{n+1}\end{array}\right.$并规定 $x_0=x_n$， $x_{n+1}=x_1$．如果数列 $A$只有四个数，且 $x_1$， $x_2$， $x_3$， $x_4$依次为3，1，2，1，则其“伴生数列” $B$是 　　．

观察等式： $2+2^2=2^3-2$， $2+2^2+2^3=2^4-2$， $2+2^2+2^3+2^4=2^5-2$， $\dots$，已知按一定规律排列的一组数： $2^{100}$， $2^{101}$， $2^{102}$， $\dots$， $2^{199}$，若 $2^{100}=m$，用含 $m$的代数式表示这组数的和是 　　．

如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 　　行第 　　列．

人们把 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设 $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$， $b=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，得 $\mathit{ab}=1$，记 $S_1=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$， $S_2=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}$， $\dots$， $S_{10}=\frac{1}{1+a^{10}}+\frac{1}{1+b^{10}}$，则 $S_1+S_2+\dots +S_{10}=$　　．