高中数学圆锥曲线综合解答题

已知抛物线方程 $y^2=4x$ ， $F$ 为焦点， $P$ 为抛物线准线上一点， $Q$ 为线段 $\mathit{PF}$ 与抛物线的交点，定义： $d\left(P\right)=\frac{\left|\mathit{PF}\right|}{\left|\mathit{FQ}\right|}$ ．

（1）当 $P(-1,-\frac{8}{3})$ 时，求 $d\left(P\right)$ ；

（2）证明：存在常数 $a$ ，使得 $2d\left(P\right)=\left|\mathit{PF}\right|+a$ ；

（3） $P_1$ ， $P_2$ ， $P_3$ 为抛物线准线上三点，且 $\left|P_1{P}_2\right|=\left|P_2{P}_3\right|$ ，判断 $d\left(P_1\right)+d\left(P_3\right)$ 与 $2d\left(P_2\right)$ 的关系．

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $(1,0)$ ，且经过点 $A(0,1)$ ．

（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）设 O为原点，直线 $l:y=\mathit{kx}+t(t\ne \pm 1)$ 与椭圆 C交于两个不同点 P， Q，直线 $\mathit{AP}$ 与 x轴交于点 M，直线 $\mathit{AQ}$ 与 x轴交于点 N，若 $\left|\mathit{OM}\right|·\left|\mathit{ON}\right|=2$ ，求证：直线 l经过定点．