高中数学其他不等式填空题

如图，已知正方形 $\mathit{OABC}$ ，其中 $\mathit{OA}=a(a>1)$ ，函数 $y=3x^2$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $P$ ，函数 $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $Q$ ，当 $\left|\mathit{AQ}\right|+\left|\mathit{CP}\right|$ 最小时，则 $a$ 的值为________．

设函数 $f\left(x\right)={\text{e}}^x\cos x,g\left(x\right)$为 $f\left(x\right)$的导函数．

（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（Ⅱ）当 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$时，证明 $f\left(x\right)+g\left(x\right)\left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ge 0$；

（Ⅲ）设 $x_n$为函数 $u\left(x\right)=f\left(x\right)-1\mathit{ }$在区间 $\left(2\mathit{n\pi }+\frac{\pi }{4},2\mathit{n\pi }+\frac{\pi }{2}\right)$内的零点，其中 $n\in N$，证明 $2\mathit{n\pi }+\frac{\pi }{2}-x_n<\frac{e^{-2\mathit{n\pi }}}{\sin x_0-\cos x_0}$．