如图①， $P$为第一象限内一点，过 $P,O$两点的 $\odot M$交 $x$轴正半轴于点 $A$，交 $y$轴正半轴于点 $B,\angle \mathit{OPA}={45}^{\circ }$.

（1）求证: $\mathit{PO}$平分 $\angle \mathit{APB}$;

（2）作 $\mathit{OH}\perp PA$交弦 $\mathit{PA}$于点 $H$.

①若 $\mathit{AH}=2,\mathit{OH}+\mathit{PB}=8$，求 $\mathit{BP}$的长;

②若 $\mathit{BP}=m,\mathit{OH}=n$，把 $△\mathit{POB}$沿 $y$轴翻折，得到 $△P^{\text{'}}\mathit{OB}$（如图②），求 $A{P}^{\text{'}}$的长.