下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 y (单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量 t 的值依次为 α + π 3 = π 2 , 即 α = π 6 )建立模型①: y ̂ = - 30 . 4 + 13 . 5 t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量 t 的值依次为 x ≥ 2 x - 2 + 2 x - 2 > 2 )建立模型②: y ̂ = 99 + 17 . 5 t .
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
设函数 f θ = 3 sinθ+cosθ ,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边经过点 P x , y ,且 0≤θ≤π . (Ⅰ)若点 P 的坐标为 1 2 , 3 2 ,求 f θ 的值; (Ⅱ)若点 P x , y 为平面区域 Ω: x + y ≥ 1 x ≤ 1 y ≤ 1 上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求函数 f θ 的最小值和最大值.
如图,四棱锥 P - A B C D 中, P A ⊥ 底面 A B C D , A B ⊥ A D ,点 E 在线段 A D 上,且 C E ∥ A B . (Ⅰ)求证: C E ⊥ 平面 P A D ; (Ⅱ)若 P A = A B = 1 , A D = 3 , C D = 2 , ∠ C D A = 45 ° ,求四棱锥 P - A B C D 的体积.
某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:
(Ⅰ)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求 a 、 b 、 c 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为 x 1 , x 2 , x 3 ,等级系数为5的2件日用品记为 y 1 , y 2 ,现从 x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
如图,直线 l : y = x + b 与抛物线 C : x 2 = 4 y 相切于点 A . (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.
已知等差数列 { a n } 中, a 1 = 1 , a 3 = - 3 . (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 { a n } 的前 k 项和 S k = - 35 ,求 k 的值.