设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$,，右顶点为 $A$，上顶点为 $B$.已知 $\left|AB\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}\left|F_1{F}_2\right|$.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设 $P$为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $PB$为直径的圆经过点 $F_1$，经过点 $F_2$的直线 $l$与该圆相切与点 $M$， $\left|M{F}_2\right|=2\sqrt{2}$.求椭圆的方程.