解不等式组: x + 5 < 4 3 x + 1 2 ⩾ 2 x − 1 .
(年湖北黄石10分)如图,在矩形ABCD中,把点D沿AE对折,使点D落在OC上的F点,已知AO=8.AD=10.(1)求F点的坐标;(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点,我们把这条直线称为抛物线的切线,已知抛物线经过点O,F,且直线y=6x﹣36是该抛物线的切线,求抛物线的解析式;(3)直线与(2)中的抛物线交于P、Q两点,点B的坐标为(3,),求证:为定值.(参考公式:在平面直角坐标系中,若M(x1,y1),N(x2,y2),则M,N两点间的距离为|MN|=).
(年湖北武汉12分)如图,已知直线AB:与抛物线交于A、B两点,(1)直线AB总经过一个定点C,请直接写出点C坐标;(2)当时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使△ABP的面积等于5;(3)若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°,求点D到直线AB的最大距离.
(2014年湖北咸宁12分)如图,正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B的坐标为(﹣4,4).点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点Q也停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线,与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E,连接PE.设点P运动的时间为t(s). (1)∠PBD的度数为 ,点D的坐标为 (用t表示); (2)当t为何值时,△PBE为等腰三角形? (3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化?若变化,说明理由;若不变,试求这个定值.
(年湖北鄂州12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与x轴交于A(﹣1,0),与y轴交于点C.以直线x=2为对称轴的抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、C两点,并与x轴正半轴交于点B.(1)求m的值及抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)的函数表达式.(2)设点D(0,),若F是抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点,过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1(x1,y1),M2(x2,y2)两点,试探究是否为定值?请说明理由.(3)将抛物线C1作适当平移,得到抛物线C2:,h>1.若当1<x≤m时,y2≥﹣x恒成立,求m的最大值.
(年广西玉林、防城港12分)给定直线l:y=kx,抛物线C:y=ax2+bx+1.(1)当b=1时,l与C相交于A,B两点,其中A为C的顶点,B与A关于原点对称,求a的值;(2)若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r,则无论非零实数k取何值,直线r与抛物线C都只有一个交点.①求此抛物线的解析式;②若P是此抛物线上任一点,过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点,O为原点.求证:OP=PQ.