如今我国的大棚（如图 $1)$种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体 $A$处，另一端固定在离地面高2米的墙体 $B$处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度 $y$（米 $)$与其离墙体 $A$的水平距离 $x$（米 $)$之间的关系满足 $y=-\frac{1}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$，现测得 $A$， $B$两墙体之间的水平距离为6米．

（1）直接写出 $b$， $c$的值；

（2）求大棚的最高处到地面的距离；

（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 $\frac{37}{24}$米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？