“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．
（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 |
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节目类型 |
新闻 |
体育 |
动画 |
娱乐 |
戏曲 |
人数 |
12 |
30 |
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54 |
9 |
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）被调查的学生中，最喜爱体育节目的有 人，这些学生数占被调查总人数的百分比为 ．
（2）被调查学生的总数为 人，统计表中 的值为 ，统计图中 的值为 ．
（3）在统计图中， 类所对应扇形圆心角的度数为 ．
（4）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ， 为常数， 经过两点 ， ，交 轴正半轴于点 ．
（1）求抛物线 的解析式．
（2）过点 作 垂直于 轴，垂足为点 ，连接 ， ，将 以 为轴翻折，点 的对应点为 ，直线 交 轴于点 ，请判断点 是否在抛物线上，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点 是线段 （不包含端点）上一动点，过点 垂直于 轴的直线分别交直线 及抛物线于点 ， ，连接 ，请探究：是否存在点 ，使 是以 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
已知，在 中，点 在 上，点 是 延长线上一点，且 ，连接 交 于点 ．
（1）猜想证明：如图1，在 中，若 ，学生们发现： ．下面是两位学生的证明思路：
思路1：过点 作 ，交 于点 ，可证 得出结论；
思路2：过点 作 ，交 的延长线于点 ，可证 得出结论；
请你参考上面的思路，证明 （只用一种方法证明即可）．
（2）类比探究：在（1）的条件下（如图 ，过点 作 于点 ，试探究线段 ， ， 之间满足的数量关系，并证明你的结论．
（3）延伸拓展：如图2，在 中，若 ， ， ，请你用尺规作图在图2中作出 的垂直平分线交 于点 （不写作法，只保留作图痕迹），并用含 的代数式直接表示 的值．
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