如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，以对角线 $\mathit{AC}$为边作第二个正方形 $\mathit{ACEF}$，再以对角线 $\mathit{AE}$为边作第三个正方形 $\mathit{AEGH}$，依此下去，第 $n$个正方形的面积为 $($　　 $)$

A． ${\left(\sqrt{2}\right)}^{n-1}$B． $2^{n-1}$C． ${\left(\sqrt{2}\right)}^n$D． $2^n$