某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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某商店购进一批进价为20元 $/$ 件的日用商品，第一个月，按进价提高 $50 %$ 的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 的关系如图所示．

（1）图中点 $P$ 所表示的实际意义是　　；销售单价每提高1元时，销售量相应减少　　件；

（2）请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式　　；自变量 $x$ 的取值范围为　　；

（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？

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已知抛物线 $C_{1} : y = {(x - 1)}^{2} - 4$ 和 $C_{2} : y = x^{2}$

（1）如何将抛物线 $C_{1}$ 平移得到抛物线 $C_{2}$ ？

（2）如图1，抛物线 $C_{1}$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，直线 $y = - \frac{4}{3} x + b$ 经过点 $A$ ，交抛物线 $C_{1}$ 于另一点 $B$ ．请你在线段 $AB$ 上取点 $P$ ，过点 $P$ 作直线 $PQ / / y$ 轴交抛物线 $C_{1}$ 于点 $Q$ ，连接 $AQ$ ．

①若 $AP = AQ$ ，求点 $P$ 的横坐标；

②若 $PA = PQ$ ，直接写出点 $P$ 的横坐标．

（3）如图2， $ΔMNE$ 的顶点 $M$ 、 $N$ 在抛物线 $C_{2}$ 上，点 $M$ 在点 $N$ 右边，两条直线 $ME$ 、 $NE$ 与抛物线 $C_{2}$ 均有唯一公共点， $ME$ 、 $NE$ 均与 $y$ 轴不平行．若 $ΔMNE$ 的面积为2，设 $M$ 、 $N$ 两点的横坐标分别为 $m$ 、 $n$ ，求 $m$ 与 $n$ 的数量关系．

题型：未知
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在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $\frac{AB}{BC} = n$ ， $M$ 是 $BC$ 上一点，连接 $AM$ ．

（1）如图1，若 $n = 1$ ， $N$ 是 $AB$ 延长线上一点， $CN$ 与 $AM$ 垂直，求证： $BM = BN$ ．

（2）过点 $B$ 作 $BP ⊥ AM$ ， $P$ 为垂足，连接 $CP$ 并延长交 $AB$ 于点 $Q$ ．

①如图2，若 $n = 1$ ，求证： $\frac{CP}{PQ} = \frac{BM}{BQ}$ ．

②如图3，若 $M$ 是 $BC$ 的中点，直接写出 $\tan ∠ BPQ$ 的值．（用含 $n$ 的式子表示）

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某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量 $y$ （件 $)$ 是售价 $x$ （元 $/$ 件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 $w$ （元 $)$ 的三组对应值如表：

售价 $x$ （元 $/$ 件）	50	60	80
周销售量 $y$ （件 $)$	100	80	40
周销售利润 $w$ （元 $)$	1000	1600	1600

注：周销售利润 $=$ 周销售量 $\times$ （售价 $-$ 进价）

（1）①求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②该商品进价是　　元 $/$ 件；当售价是　　元 $/$ 件时，周销售利润最大，最大利润是　　元．

（2）由于某种原因，该商品进价提高了 $m$ 元 $/$ 件 $(m > 0)$ ，物价部门规定该商品售价不得超过65元 $/$ 件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求 $m$ 的值．

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已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AM$ 和 $BN$ 是 $⊙ O$ 的两条切线， $DC$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $E$ ，分别交 $AM$ 、 $BN$ 于 $D$ 、 $C$ 两点．

（1）如图1，求证： $A B^{2} = 4 AD \cdot BC$ ；

（2）如图2，连接 $OE$ 并延长交 $AM$ 于点 $F$ ，连接 $CF$ ．若 $∠ ADE = 2 ∠ OFC$ ， $AD = 1$ ，求图中阴影部分的面积．

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如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形 $ABCD$ 的顶点在格点上，点 $E$ 是边 $DC$ 与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

（1）如图1，过点 $A$ 画线段 $AF$ ，使 $AF / / DC$ ，且 $AF = DC$ ．

（2）如图1，在边 $AB$ 上画一点 $G$ ，使 $∠ AGD = ∠ BGC$ ．

（3）如图2，过点 $E$ 画线段 $EM$ ，使 $EM / / AB$ ，且 $EM = AB$ ．

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