如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$，线段 $\mathit{DE}$在射线 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{DE}=\mathit{AC}$，线段 $\mathit{DE}$沿射线 $\mathit{BC}$运动，开始时，点 $D$与点 $B$重合，点 $D$到达点 $C$时运动停止，过点 $D$作 $\mathit{DF}=\mathit{DB}$，与射线 $\mathit{BA}$相交于点 $F$，过点 $E$作 $\mathit{BC}$的垂线，与射线 $\mathit{BA}$相交于点 $G$．设 $\mathit{BD}=x$，四边形 $\mathit{DEGF}$与 $\mathit{\Delta ABC}$重叠部分的面积为 $S$， $S$关于 $x$的函数图象如图2所示（其中 $0<x⩽1$， $1<x⩽m$， $m<x⩽3$时，函数的解析式不同）

（1）填空： $\mathit{BC}$的长是　　；

（2）求 $S$关于 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围．