在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如 $(- 3, 5)$ 与 $(5, - 3)$ 是一对“互换点”．

（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

（2） $M$ 、 $N$ 是一对“互换点”，若点 $M$ 的坐标为 $(m, n)$ ，求直线 $MN$ 的表达式（用含 $m$ 、 $n$ 的代数式表示）；

（3）在抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象上有一对“互换点” $A$ 、 $B$ ，其中点 $A$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，直线 $AB$ 经过点 $P (\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2})$ ，求此抛物线的表达式．

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（本题12分）已知两直线，分别经过点A(3，0)，点B(－1，0)，并且当两直线同时相交于y负半轴的点C时，恰好有，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线交于点D，如图所示。

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当直线绕点C顺时针旋转一个锐角时，它与抛物线的另一个交点为P(x，y)，求四边形APCB面积S关于x的函数解析式，并求S的最大值；
（3）当直线绕点C旋转时，它与抛物线的另一个交点为P，请找出使△PCD为等腰三角形的点P，并求出点P的坐标。