如图，已知抛物线经过点 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(0,2)$三点，点 $D$与点 $C$关于 $x$轴对称，点 $P$是 $x$轴上的一个动点，设点 $P$的坐标为 $(m,0)$，过点 $P$作 $x$轴的垂线 $l$交抛物线于点 $Q$，交直线 $\mathit{BD}$于点 $M$．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点 $F(0,\frac{1}{2})$，当点 $P$在 $x$轴上运动时，试求 $m$为何值时，四边形 $\mathit{DMQF}$是平行四边形？

（3）点 $P$在线段 $\mathit{AB}$运动过程中，是否存在点 $Q$，使得以点 $B$、 $Q$、 $M$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOD}$相似？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．