如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{AB}$的垂线交 $\mathit{AB}$于点 $F$，交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $G$，且 $\angle \mathit{ABG}=2\angle C$．

（1）求证： $\mathit{EG}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\tan C=\frac{1}{2}$， $\mathit{AC}=8$，求 $\odot O$的半径．