如图，抛物线 $y=a{x}^2-(2a+1)x+b$的图象经过 $(2,-1)$和 $(-2,7)$且与直线 $y=\mathit{kx}-2k-3$相交于点 $P(m,2m-7)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线 $y=\mathit{kx}-2k-3$与抛物线 $y=a{x}^2-(2a+1)x+b$的对称轴的交点 $Q$的坐标；

（3）在 $y$轴上是否存在点 $T$，使 $\mathit{\Delta PQT}$的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点 $T$的坐标；若不存在请说明理由．