为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课： A．书法； B．绘画； C．乐器； D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有多少人？扇形统计图中∠α的度数是多少？
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从 A．书法； B．绘画； C．乐器； D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．
为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛．比赛设置一等、二等、三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并将所得数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查学生的人数为 ．
（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中 所对应扇形圆心角的度数．
（3）若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数．
在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1， 的三个顶点都是网格线的交点，已知 ， 两点的坐标分别为 ， ．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点 的坐标．
（2）将 绕着坐标原点顺时针旋转 ，画出旋转后的△ ．
（3）接写出在上述旋转过程中，点 所经过的路径长．
把函数 的图象绕点 旋转 ，得到新函数 的图象，我们称 是 关于点 的相关函数． 的图象的对称轴与 轴交点坐标为 ．
（1）填空： 的值为 （用含 的代数式表示）
（2）若 ，当 时，函数 的最大值为 ，最小值为 ，且 ，求 的解析式；
（3）当 时， 的图象与 轴相交于 ， 两点（点 在点 的右侧）．与 轴相交于点 ．把线段 原点 逆时针旋转 ，得到它的对应线段 ，若线 与 的图象有公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
阅读下面材料，完成（1） （3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图1， 中， ，点 、 在 上， ， （其中 ， 的平分线与 相交于点 ， ，垂足为 ，探究线段 与 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现 与 相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 与 的数量关系．”
老师：“保留原题条件，延长图1中的 ，与 相交于点 （如图 ，可以求出 的值．”
（1）求证： ；
（2）探究线段 与 的数量关系（用含 的代数式表示），并证明；
（3）直接写出 的值（用含 的代数式表示）．
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