如图，二次函数 y＝ ax ²+ bx+ c（ a≠0）的图象交 x轴于 A、 B两点，交 y轴于点 D，点 B的坐标为（3，0），顶点 C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式和直线 BD的解析式；

（2）点 P是直线 BD上的一个动点，过点 P作 x轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P在第一象限时，求线段 PM长度的最大值；

（3）在抛物线上是否存在异于 B、 D的点 Q，使△ BDQ中 BD边上的高为2 $\sqrt{2}$ ？若存在求出点 Q的坐标；若不存在请说明理由．