"通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知"是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程 $x-\sqrt{x}=0$ ，就可以利用该思维方式，设 $\sqrt{x}=y$ ，将原方程转化为： $y^2-y=0$ 这个熟悉的关于 $y$ 的一元二次方程，解出 $y$ ，再求 $x$ ，这种方法又叫"换元法"．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．

已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $\left\{\begin{array}{c}5x^2{y}^2+2x+2y=133\\ \frac{x+y}{4}+2x^2{y}^2=51\end{array}\right.$ ，求 $x^2+y^2$ 的值．