如图1，点B在线段CE上，RtΔABC≅RtΔCEF，∠AB

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图1，点 $B$ 在线段 $CE$ 上， $Rt Δ ABC ≅ Rt Δ CEF$ ， $∠ ABC = ∠ CEF = 90 °$ ， $∠ BAC = 30 °$ ， $BC = 1$ ．

（1）点 $F$ 到直线 $CA$ 的距离是　　；

（2）固定 $ΔABC$ ，将 $ΔCEF$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转 $30 °$ ，使得 $CF$ 与 $CA$ 重合，并停止旋转．

①请你在图1中用直尺和圆规画出线段 $EF$ 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为　　；

②如图2，在旋转过程中，线段 $CF$ 与 $AB$ 交于点 $O$ ，当 $OE = OB$ 时，求 $OF$ 的长．

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如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴相交于 $B (1, 0), C (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴的正半轴相交于 $A$ 点，过 $A, B, C$ 三点的 $⊙ P$ 与 $y$ 轴相切于点 $A$ .

（1）请求出点 $A$ 坐标和 $⊙ P$ 的半径;

（2）请确定抛物线的解析式;

（3） $M$ 为 $y$ 轴负半轴上的一个动点，直线 $MB$ 交 $⊙ P$ 于点 $D$ .若 $△ AOB$ 与以 $A, B, D$ 为顶点的三角形相似，求 $MB \cdot MD$ 的值（先画出符合题意的示意图再求解）.

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如图，锐角 $△ ABC$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知二次函数 $y = x^{2} cos A - x + \frac{1}{cos A}$ 的图象顶点与点 $(- 2 cos A, 3 cos A)$ 关于 $y$ 轴对称.延长 $AB$ 至 $P$ 点，使 $AP = 2 AC$ ，且以 $C$ 为圆心， $AC$ 为半径的圆与以 $B$ 为圆心 $BP$ 为半径的圆相外切.

（1）求 $∠ A$ 的度数;

（2）设 $BP = r$ ，求 $a : b : c$ 的值;

（3）若关于 $t$ 的方程 $3 t^{2} - 3 ct + (a + b) = 0$ 的两个根 $α, β$ 满足 $α (α + 1) + β (β + 1) = (α + 1) (β + 1)$ ，求 $△ ABC$ 的面积.

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如图，已知直线 $l : y = kx + 2 (k < 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ，以 $OA$ 为直径的 $⊙ P$ 交 $l$ 于另一点 $D$ ，把弧 $AD$ 沿直线 $l$ 翻转后与 $OA$ 交于点 $E$ .

（1）当 $k = - 2$ 时，求 $OE$ 的长;

（2）是否存在实数 $k (k < 0)$ ，使沿直线 $l$ 把弧 $AD$ 翻转后所得的弧与 $OA$ 相切?若存在，请求出此时 $k$ 的值;若不存在，请说明理由.

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如图所示，在平面直角坐标系中， $⊙ O_{1}$ 与 $x$ 轴交于 $A (2, 0), B (t + 2, 0)$ （且 $t > 0)$ 两点，与 $y$ 轴相切于点 $C, AB = AC$ .

（1）求点 $C, O_{1}$ 的坐标和 $t$ 的值;

（2）求过点 $A, B, C$ 的抛物线解析式;

（3）若抛物线顶点为 $D$ ，判断点 $D$ 与 $⊙ O_{1}$ 的位置关系，并求出 $△ ABD$ 的外接圆半径.

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如图①， $P$ 为第一象限内一点，过 $P, O$ 两点的 $⊙ M$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴正半轴于点 $B, ∠ OPA = 45^{\circ}$ .

（1）求证: $PO$ 平分 $∠ APB$ ;

（2）作 $OH ⊥ P A$ 交弦 $PA$ 于点 $H$ .

①若 $AH = 2, OH + PB = 8$ ，求 $BP$ 的长;

②若 $BP = m, OH = n$ ，把 $△ POB$ 沿 $y$ 轴翻折，得到 $△ P^{'} OB$ （如图②），求 $A P^{'}$ 的长.

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