如图，抛物线 $L:y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{5}{4}x-3$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

（1）求直线 $\mathit{AB}$ 的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1，点 $P$ 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $\mathit{PC}\perp x$ 轴，垂足为 $C$ ， $\mathit{PC}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，求 $\mathit{PD}+\mathit{BD}$ 的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，将抛物线 $L:y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{5}{4}x-3$ 向右平移得到抛物线 $L^{\text{'}}$ ，直线 $\mathit{AB}$ 与抛物线 $L^{\text{'}}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $A$ 是线段 $\mathit{MN}$ 的中点，求抛物线 $L^{\text{'}}$ 的解析式．