如图,抛物线 L:y=12x2-54x-3 与 x 轴正半轴交于点 A ,与 y 轴交于点 B .
(1)求直线 AB 的解析式及抛物线顶点坐标;
(2)如图1,点 P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点,过点 P 作 PC⊥x 轴,垂足为 C , PC 交 AB 于点 D ,求 PD+BD 的最大值,并求出此时点 P 的坐标;
(3)如图2,将抛物线 L:y=12x2-54x-3 向右平移得到抛物线 L' ,直线 AB 与抛物线 L' 交于 M , N 两点,若点 A 是线段 MN 的中点,求抛物线 L' 的解析式.