如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为 $a$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{AB}$ 上运动（不与点 $A$ ， $B$ 重合）， $\angle \mathit{DAM}=45°$ ，点 $F$ 在射线 $\mathit{AM}$ 上，且 $\mathit{AF}=\sqrt{2}\mathit{BE}$ ， $\mathit{CF}$ 与 $\mathit{AD}$ 相交于点 $G$ ，连接 $\mathit{EC}$ 、 $\mathit{EF}$ 、 $\mathit{EG}$ ．则下列结论：

① $\angle \mathit{ECF}=45°$ ；

② $\mathit{\Delta AEG}$ 的周长为 $(1+\frac{\sqrt{2}}{2})a$ ；

③ $B{E}^2+D{G}^2=E{G}^2$ ；

④ $\mathit{\Delta EAF}$ 的面积的最大值是 $\frac{1}{8}{a}^2$ ；

⑤当 $\mathit{BE}=\frac{1}{3}a$ 时， $G$ 是线段 $\mathit{AD}$ 的中点．

其中正确的结论是 $($ 　　 $)$

A．

①②③

B．

②④⑤

C．

①③④

D．

①④⑤