如图，在$\mathit{\Delta ACE}$中，以$\mathit{AC}$为直径的$\odot O$交$\mathit{CE}$于点$D$，连接$\mathit{AD}$，且$\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{ACE}$，连接$\mathit{OD}$并延长交$\mathit{AE}$的延长线于点$P$，$\mathit{PB}$与$\odot O$相切于点$B$．

（1）求证：$\mathit{AP}$是$\odot O$的切线；

（2）连接$\mathit{AB}$交$\mathit{OP}$于点$F$，求证：$\mathit{\Delta FAD}\backsim \mathit{\Delta DAE}$；

（3）若$\tan \angle \mathit{OAF}=\frac{1}{2}$，求$\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AP}}$的值．