探究活动一：

如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线$\mathit{AB}$上的三点$A(1,3)$、$B(2,5)$、$C(4,9)$，有$k_{\mathit{AB}}=\frac{5-3}{2-1}=2$，$k_{\mathit{AC}}=\frac{9-3}{4-1}=2$，发现$k_{\mathit{AB}}=k_{\mathit{AC}}$，兴趣小组提出猜想：若直线$y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$上任意两点坐

标$P(x_1$，$y_1)$，$Q(x_2$，$y_2\left)\right(x_1\ne x_2)$，则$k_{\mathit{PQ}}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，$k_{\mathit{PQ}}$是定值，并且是直线$y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$中的$k$，叫做这条直线的斜率．

请你应用以上规律直接写出过$S(-2,-2)$、$T(4,2)$两点的直线$\mathit{ST}$的斜率$k_{\mathit{ST}}=$　　．

探究活动二

数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．

如图2，直线$\mathit{DE}$与直线$\mathit{DF}$垂直于点$D$，$D(2,2)$，$E(1,4)$，$F(4,3)$．请求出直线$\mathit{DE}$与直线$\mathit{DF}$的斜率之积．

综合应用

如图3，$\odot M$为以点$M$为圆心，$\mathit{MN}$的长为半径的圆，$M(1,2)$，$N(4,5)$，请结合探究活动二的结论，求出过点$N$的$\odot M$的切线的解析式．