如图，一副含$30°$和$45°$角的三角板$\mathit{ABC}$和$\mathit{EDF}$拼合在个平面上，边$\mathit{AC}$与$\mathit{EF}$重合，$\mathit{AC}=12\mathit{cm}$．当点$E$从点$A$出发沿$\mathit{AC}$方向滑动时，点$F$同时从点$C$出发沿射线$\mathit{BC}$方向滑动．当点$E$从点$A$滑动到点$C$时，点$D$运动的路径长为　　$\mathit{cm}$；连接$\mathit{BD}$，则$\mathit{\Delta ABD}$的面积最大值为　　$c{m}^2$．