如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的顶点 $A$ ， $B$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$ 的图象上，横坐标分别为1，4，对角线 $\mathit{BD}//x$ 轴．若菱形 $\mathit{ABCD}$ 的面积为 $\frac{45}{2}$ ，则 $k$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5}{4}$

B．

$\frac{15}{4}$

C．

4

D．

5