为了维护国家主权和海洋权利，我国海监部门对中国海域实现常态化管理．某日，我国海监船在某海岛附近的海域执行巡逻任务．如图，此时海监船位于海岛$P$的北偏东$30°$方向，距离海岛100海里的$A$处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛$P$的南偏东$45°$方向的$B$处，求海监船航行了多少海里（结果保留根号）？