小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部$B$，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点$D$，并在点$D$处安装了测量器$\mathit{DC}$，测得古树的顶端$A$的仰角为$45°$；再在$\mathit{BD}$的延长线上确定一点$G$，使$\mathit{DG}=5$米，并在$G$处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着$\mathit{BG}$方向移动，当移动到点$F$时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端$A$的像，此时，测得$\mathit{FG}=2$米，小明眼睛与地面的距离$\mathit{EF}=1.6$米，测倾器的高度$\mathit{CD}=0.5$米．已知点$F$、$G$、$D$、$B$在同一水平直线上，且$\mathit{EF}$、$\mathit{CD}$、$\mathit{AB}$均垂直于$\mathit{FB}$，求这棵古树的高度$\mathit{AB}$．（小平面镜的大小忽略不计）