如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴$-3$和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．

①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；

②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；

③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．

（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率$P$；

（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对$n$次，且他最终停留的位置对应的数为$m$，试用含$n$的代数式表示$m$，并求该位置距离原点$O$最近时$n$的值；

（3）从如图的位置开始，若进行了$k$次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出$k$的值．