如图，直角坐标系xOy中，一次函数y12x5的图象l1分别与

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 5$ 的图象 $l_{1}$ 分别与 $x$ ， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，正比例函数的图象 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 交于点 $C (m, 4)$ ．

（1）求 $m$ 的值及 $l_{2}$ 的解析式；

（2）求 $S_{ΔAOC} - S_{ΔBOC}$ 的值；

（3）一次函数 $y = kx + 1$ 的图象为 $l_{3}$ ，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 不能围成三角形，直接写出 $k$ 的值．

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如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 在 $AC$ 上，且 $AF = CE$ ．

求证： $BE = DF$ ．

题型：未知
难度：未知

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在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ，顶点为 $G$ ．

（1）求抛物线和直线 $AC$ 的解析式；

（2）如图1，设 $E (m, 0)$ 为 $x$ 轴上一动点，若 $ΔCGE$ 和 $ΔCGO$ 的面积满足 $S_{ΔCGE} = \frac{4}{3} S_{ΔCGO}$ ，求点 $E$ 的坐标；

（3）如图2，设点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $x$ 轴向右运动，运动时间为 $ts$ ，点 $M$ 为射线 $AC$ 上一动点，过点 $M$ 作 $MN / / x$ 轴交抛物线对称轴右侧部分于点 $N$ ．试探究点 $P$ 在运动过程中，是否存在以 $P$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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如图1，在四边形 $ABCD$ 中，若 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ， $A C^{2} = AB \cdot AD$ ，且 $AD = AB + AC$ ，则我们称这样的四边形 $ABCD$ 为“黄金四边形”， $∠ BAD$ 称为“黄金角”．

【概念理解】（1）已知四边形 $ABCD$ 为“黄金四边形”， $∠ BAD$ 为“黄金角”， $AB < AD$ ，若 $AD = 1$ ，则 $AC =$ 　　．

【问题探究】（2）如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $BC / / AD$ ， $∠ BAC = ∠ DAC = ∠ D = 36 °$ ．求证：四边形 $ABCD$ 为“黄金四边形”．

【拓展延伸】（3）如图3，在“黄金四边形” $ABC A_{1}$ 中， $∠ BA A_{1}$ 为“黄金角”， $AB < A A_{1}$ ，在四边形 $ABC A_{1}$ 外部依次作△ $A A_{1} A_{2}$ ，△ $A A_{2} A_{3}$ ， $\dots$ ，使四边形 $AC A_{1} A_{2}$ ， $A A_{1} A_{2} A_{3}$ ， $\dots$ 均为“黄金四边形”，且满足 $∠ CA A_{2}$ ， $∠ A_{n} A A_{n + 2} (n = 1$ ，2， $3 \dots)$ 均为“黄金角”， $A A_{n} < A A_{n + 1} (n = 1$ ，2， $3 \dots)$